«Наука и жизнь» № 3, 1997 г., стр. 56 – 64

Окончание.
Начало см. «Наука и жизнь» № 2, 1997 г. (См.: Часть I )

• БЕСЕДЫ ОБ ОСНОВАХ НАУК

Наше четырёхмерное пространство-время – только тонкая «кожа» на поверхности некоторого двенадцатимерного многообразия, в котором живёт M-теория. Гравюра голландского художника М. Эшера «Лента единства».

СУПЕРСТРУНЫ: НА ПУТИ К ТЕОРИИ ВСЕГО
(См. 1-ю стр. цв. вкладки)

В предыдущем номере автор начал рассказ об одном из наиболее сложных и труднопредставимых понятий современной теоретической физики – о суперструнах. Читателю был представлен ряд понятий, подводящих к основам современной «теории всего» – двенадцатимерной M-теории. Публикуемое в этом номере окончание статьи, как и её первую часть, нельзя отнести к лёгкому чтению. Что поделаешь – в нашем трёхмерном мире тяжело найти аналогии, опираясь на которые можно было бы наглядно проиллюстрировать физику многомерных пространств. Тем не менее автор пытается такие аналогии отыскать, и можно надеяться, что они помогут читателю если не понять всё до конца, то хотя бы оценить, с какими захватывающе интересными идеями имеет дело физика наших дней.

Доктор физико-математических наук А. СЕМИХАТОВ,
Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук.

Часть II

Шумит волна, звенит струна…
Песня. 

СУПЕРСТРУНЫ

Именно суперсимметрия приходит на выручку бозонной струне, поражённой нестабильностью. Этой нестабильности не возникает при квантовании суперструны.

Суперструна – это суперсимметричная струна, то есть по-прежнему струна, но живущая не в обычном нашем пространстве, а в суперпространстве. Или, что в конечном итоге оказывается эквивалентным, хотя и не очевидным заранее, это струна в обычном (бозонном) пространстве, на мировом листе которой живёт определённый набор фермионных полей и имеется суперсимметрия. В любой формулировке суперсимметрия накладывает весьма жёсткие ограничения на квантовое поведение суперструн. Она влияет также и на то, в пространстве какой размерности струна, в данном случае суперструн, избавлена от противоречий. Такой размерностью оказывается 10 – несколько ближе к желанным четырём, чем 26, но всё же достаточно далеко. Будет нелишним подчеркнуть, что фермионы населяют мировой лист суперструны уже в выделенной размерности 10, и именно их присутствие делает струну суперсимметричной.

В суперсимметричных теориях каждая частица обязана иметь супсрпартнёра. Суперпартнёр частицы α – частица совсем другого типа (не античастица!), но она обязана принимать участие вместе с α во всех процессах, с нею происходящих. Теория будет непротиворечивой, только если ни при каких условиях не сможет родиться частица без суперпартнёра. Появление таких одиноких частиц означало бы нарушение суперсимметрии.

Что же касается тахиона, то он просто не может возникнуть в суперструне, поскольку его появление противоречило бы суперсимметрии (у него не может быть суперпартнёра). Тем самым суперсимметрия исправляет весьма вредный недостаток бозонной струны. Более того – она приводит к новым условиям внутренней самосогласованности. Теория будет последовательной лишь тогда, когда, что бы ни происходило, суперсимметрия сохранится. Это значит, что в ней не появятся объекты без суперпартнёров. Другие симметрии, имеющиеся в теории, также должны сохраняться при квантовании. Это, однако, не всегда легко получается, если имеются фермионы определённого вида, реализующие суперсимметрию. Поэтому, начав с классической теории, далеко не всегда можно построить последовательную квантовую теорию. Как уже говорилось, это означает, что Природа описывается не какой попало теорией, а только той, видимо единственной, которая на всех уровнях свободна от противоречий.

В терминах частиц-полей в десятимерном пространстве-времени, на достаточном удалении от суперструны возникает прежде всего суперсимметричный вариант теории гравитации называемый, конечно, супергравитацией. Теории супергравитации стали прекрасным примером того, сколь сильно суперсимметрия чувствительна к размерности пространства-времени. Оказалось, что никакие супергравитации невозможны в размерности больше 11, тогда как в размерностях от 2 до 11 им жить хорошо. Десятимерные теории супергравитации как раз и представляют собой определённый предел, к которому сводится теория суперструн на больших расстояниях, а супергравитации в более низких размерностях получаются из десятимерных. Таким образом, в известном смысле ничего нового по сравнению с суперструнами не обнаружено. Независимо сформулированные теории поля в действительности оказались лишь пределом теории струн, а их симметрии – некоторой частью симметрии струнных теорий.

Впрочем, это было бы в точности так, если бы не одна-единственная теория одиннадцатимерной супергравитации – она не следует ни из какой теории суперструн, потому что струны не могут жить в размерности больше десяти. До самого последнего времени одиннадцатимерная супергравитация оставалась раздражающим фактором: будучи, в общем, похожа на тесно связанные с суперструнами теории полей-частиц, она сама ни с какой суперструной связана быть не может, из-за чего выглядит не-необходимой и потому не вполне понятной.

В суперструну можно встроить ещё некоторую дополнительную симметрию, и тогда в пределе больших расстояний наряду с супергравитацией возникает ещё так называемая теория Янга – Миллса. Она похожа на те, что описывают поведение кварков и глюонов, но только в десяти измерениях и в суперсимметричном варианте. Размер и тип янг-миллсовской симметрии может быть выбран, казалось бы, произвольно, а потому число различных десятимерных струнных теорий должно быть бесконечно. Но свободными от противоречий оказываются лишь пять вариантов теории десятимерных суперструн! Таким образом, условия существования симметрии на уровне струн – более фундаментальном, чем уровень полей-частиц, – накладывают существенно более сильные ограничения. Говоря о струнах, мы теперь всегда будем иметь в виду именно суперструну в одном из непротиворечивых вариантов этой теории.

Конечно, столь сильное сокращение произвола в построении теории – от бесконечности до пяти – результат весьма впечатляющий, и говорит он о том, что в поисках единой «теории всего» мы на правильном пути. И тем не менее пять – это слишком много, когда речь идёт о действительно единой теории. Некоторое время казалось, что «было бы гораздо лучше», если бы требования математической состоятельности выделяли вместо пяти одну теорию. Но недавно события приняли непредвиденный оборот, да так, что заодно исчез и раздражающий фактор одиннадцатимерной супергравитации. Но прежде, чем рассказывать об этом, нам необходимо разобраться с тем, как же «привязать» хотя бы одну из пяти десятимерных теорий к нашему четырёхмерному миру.

КАЛУЦА – КЛЕЙН И ЧЕТЫРЁХМЕРНАЯ ФИЗИКА ИЗ СУПЕРСТРУН

Каково же взаимоотношение четырёхмерной физики и теории струн, скажем, в десятимерном пространстве-времени? Понимание того, как «скрытые» измерения влияют на четырёхмерный мир, – одно из важнейших достижений современной теоретической физики. Но сама по себе идея взаимного влияния пространств разной размерности, называемая по имени впервые предложивших её учёных теорией Калуцы – Клейна, была высказана сравнительно давно. Речь здесь идёт вот о чём.

Начнём с простейшего случая и постараемся понять, каким образом пятимерный мир можно привести к четырёхмерному. Для этого в пятимерии нужно рассматривать не плоское пространство, а пространство, превращённое в этакий цилиндр, то есть считать одно из измерений свёрнутым в кольцо. Скрутив в тонкую трубку лист бумаги, можно подумать, что перед вами не плоскость, каковой был этот лист, а линия, одномерное пространство. Конечно, посмотрев повнимательнее, вы увидите, что это вовсе не линия, а именно трубка.

Но теперь представим себе, что по листу бумаги бегают какие-то частицы. Пока лист не скручен или пока радиус скрученного листа не слишком мал, эти частицы бегают во всех направлениях. По мере того, как уменьшается радиус цилиндра, частица обегает вокруг трубки всё быстрее и быстрее. В то же время движение вдоль трубки происходит по прямой, точно так же, как и раньше, на плоском листе. А теперь предположим, что обход по окружности занимает очень мало времени, и мы просто не в состоянии заметить, что частица двигалась в этом направлении: нам кажется, что она может двигаться только вдоль «плоского» направления, вдоль трубки. Таким образом, мы свели двумерное пространство к одномерному!

В действительности движение по измерениям, закрученным в кольцо, не удаётся заметить по весьма фундаментальной причине – согласно принципу неопределённости. Чем меньше размеры, в которые надо втиснуть частицу, тем большая энергия для этого требуется. Таким образом, как только лишние измерения сворачиваются в достаточно маленькие окружности, у нас просто не хватит энергии, чтобы заставить какую бы то ни было частицу бежать по этой окружности, так что это измерение как бы исчезает.

Скрутив плоский лист бумаги (желательно представить его бесконечным) в достаточно тонкую трубку, мы, «убиваем» одно измерение: на большом расстоянии она представляется линией – одномерным объектом, а не двумерным, каким была плоскость. Аналогичным образом можно «скрутить» пространство любого числа измерений, понизив его размерность. Понятно, что по мере роста числа размерностей пространства значительно возрастает число способов, которыми можно осуществить подобное скручивание, хотя наглядно представить себе (и тем более нарисовать) это невозможно.		Струна способна наматываться на такие скрученные пространства, которые имеют внутри некоторое подобие дырок (в простейшем случае это тор), и поэтому не может с них соскочить. А со сферы, например, любая замкнутая струна может сняться, стянувшись в точку. Намотанные таким образом струны порождают колебания, отличные от колебаний свободных струн.

Вспомним теперь, что частицы в микромире – это кванты соответствующих полей и что последовательное описание взаимодействий в природе достигается именно на языке полей. Поля могут иметь несколько (иногда – до нескольких сотен) различных компонент, и, как правило, их тем больше, чем больше размерность пространства-времени. Компоненты – это как бы отдельные поля, но они собраны в единую структуру и без неё не обладают полной самостоятельностью. Например, электромагнитное поле в четырёхмерном пространстве-времени имеет четыре компоненты, две из которых по некоторым причинам ненаблюдаемы (они «нефизические»), а две другие соответствуют двум направлениям поляризации фотона. Теперь представим себе, что поле живёт в пространстве, одно или несколько измерений которого свёрнуты в маленькие окружности, так что получается эффективное пространство меньшей размерности. В этом случае полю требуется преобразовать себя таким образом, чтобы число компонент уменьшилось до количества, которое и ожидается от него в пространстве меньшей размерности. Лишние компоненты поля при этом оказываются полностью независимыми и выступают как новые поля.

Идея подхода Калуцы – Клейна, таким образом, состоит в том, что некоторые наборы вроде бы никак не связанных полей в четырёхмерном пространстве-времени могут оказаться осколками единого поля в пространстве более высокой размерности. Если дело обстоит именно так, то мы получаем уникальный механизм построения единой теории поля, то есть именно единой теории, описывающей различные поля. Истинной же ареной для этой единой теории служит пространство более высокой размерности. Десятимерие и одиннадцатимерие для этого прекрасно подходят. Во-первых, у живущих там полей достаточно компонент, чтобы упаковать в них имеющиеся четырёхмерные поля. А во-вторых, в десятимерии (или одиннадцатимерии) ещё существует суперсимметрия, которая в том или ином виде перейдёт по наследству в четырёхмерие, определив ряд его хороших свойств. «Максимальные» супергравитации живут как раз в размерностях 10 и 11 и, раскалываясь на куски при свёртывании ряда измерений, «выпадают» в довольно замысловатые теории, включающие супергравитации в низших размерностях.

Но как только выбор «большой» теории сделан, немедленно возникает следующий вопрос: можно ли объяснить, почему, скажем, десятимерная теория предпочла расколоться на 4 + 6 измерений, а не, скажем, на 5 + 5 (тогда мы жили бы в пятимерном пространстве-времени, а свернутыми в колечки были бы ещё пять измерений). В действительности, как мы видим, свёрнутых измерений должно быть шесть, что оставляет нам только четыре несвёрнутых.

Более того, лишние измерения не обязательно должны сворачиваться именно в окружности. Когда перед нами стоит задача «скрутить» два измерения, то скручивание их в окружности даёт тор. Но ничем не хуже будет и другое замкнутое двумерное пространство – сфера. По мере того, как число измерений растёт, обнаруживается всё больше способов выбрать такие замкнутые пространства.

Какое именно пространство и какой размерности реализуется? Это зависит от того, как развивается система во времени в соответствии с её внутренним законом. Так же, например, как динамика атмосферных потоков определяет погоду и стабильно (по крайней мере, в течение последних 5000 лет) засушливый климат Сахары. А серьёзные изменения, скажем, в структуре океанских течений могут привести к изменению климата. К счастью для нас, конфигурация пространства-времени, установившаяся в течение последних 15 миллиардов лет, несколько более стабильна, чем погода. Только на очень ранних этапах жизни Вселенной количество скрученных измерений могло меняться. Например, рождённый десятимерным мир мог вскоре предпочесть шесть свёрнутых измерений, оставив для нас ставшие уже привычными четыре.

Нам пока неизвестно, как именно осуществляется выбор между различными структурами «свёрнутых» пространств и тем самым между различными размерностями и свойствами четырёхмерного пространства-времени. Но мы знаем, что такая возможность выбора встроена в теорию суперструн, поскольку струны порождают гравитацию, которая и определяет геометрию пространства-времени. И мы также в состоянии определить, может ли, в принципе, то или иное шестимерное пространство быть отобрано суперструной для того, чтобы из десятимерия получился наблюдаемый четырёхмерный мир. Определяющим критерием здесь служит суперсимметрия: не во всяком пространстве может жить суперструна. Кроме того, структура шестимерного пространства должна быть согласована с наблюдаемыми свойствами нашего мира.

Дело в том, что при скручивании лишних измерений в очень маленькие пространства свойства теории в остающихся измерениях отражают некоторые геометрические характеристики этих пространств. Так, например, число поколений элементарных частиц связано с характеристиками, примерно описывающими количество «дыр» в пространстве свёрнутых измерений. Поэтому не полностью пока известная нам теория строится как бы с двух сторон. От наблюдаемых при доступных нам малых энергиях свойств элементарных частиц переходят к теории струн, пытаясь эти свойства экстраполировать на очень высокие энергии, существенные для струнного описания. А в рамках собственно струнной формулировки стараются увидеть, каковы механизмы, «переводящие» струнные сущности (иногда непосредственно не наблюдаемые, вроде свойств обитателей мирового листа струны) в термины геометрии скрученных измерений, а оттуда – на язык четырёхмерного пространства-времени и живущих в нём элементарных частиц. Полученная этим путём теория должна объяснить, почему суперструны выбирают именно наш четырёхмерный мир, предпочтя его другим возможностям (например, шестимерное или четырёхмерное, но в каком-нибудь смысле «перекошенное», пространство-время, или вообще нечто иное вместо пространства-времени). Часть из встречающихся на этом пути сложностей обсуждается ниже.

Колебания свободной струны могут происходить с различными частотами. На достаточном удалении эти колебания выглядят как частицы, масса которых тем больше, чем выше частота колебаний струны.		Струны, намотанные на скрученные пространства, на достаточном расстоянии тоже «выглядят» как частицы. Масса этих частиц определяется числом витков намотанной струны. Но эти частицы будут отличаться от частиц, соответствующих колебаниям струны ненамотанной.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Часто упоминаемые «технические» сложности теоретической физики в значительной мере обусловлены следующим обстоятельством. По какой-то причине, обсуждать которую мы не можем, физические процессы описываются уравнениями, как правило, с заданными начальными или иными условиями. Например, измерив координаты и скорости всех тел в Солнечной системе на 1 января 1900 года, мы можем, в принципе, решить соответствующие уравнения и, таким образом, найти их положения в любой момент времени. Однако реально сделать это можно лишь в некотором приближении, иначе уравнения просто невозможно решить. Это обстоятельство вовсе не означает вселенской катастрофы, но содержит массу неудобств: решение существует, но у нас, например, нет возможности записать его на бумаге. Приближение, в котором мы всё-таки можем кое-что (иногда не так уж и мало) сделать, состоит в том, чтобы считать Солнце неизмеримо тяжелее всех планет. Это приближение почти работает, в особенности для лёгких планет, но для тяжёлых оно уже вступает в серьёзное противоречие с результатами точных наблюдений. Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун всё-таки достаточно массивны, и существование каждого из них отражается на соседях. Чтобы уточнить движение, скажем, Урана, можно считать, что его тяжёлые соседи движутся по своим независимым траекториям и оттуда воздействуют на Уран. В действительности, скажем, Юпитер в свою очередь подвергается притяжению Сатурна, Урана, Нептуна, и на самом деле его траектория более сложная. Но для расчёта малых возмущений интересующего нас Урана такие детали в поведении Юпитера не важны. Подобный подход известен как теория возмущений. Названа она так потому, что сначала делают упрощённые предположения и находят невозмущённое движение каждого тела, а потом вычисляют поправки – возмущения этого движения.

Теория возмущений может быть корректной только когда одни эффекты (притяжение планет между собой) малы по сравнению с другими (притяжением планет к Солнцу). А вот в интересной задаче тройных звёзд – когда все три тела сравнимы друг с другом по массе – теория возмущений совершенно неприменима, развить подобную схему вычислений просто невозможно. Подобная ситуация описывается термином «сильная связь» (или сильное взаимодействие). Задачи с сильным взаимодействием надо решать точно, а не по теории возмущений, но это удаётся лишь в исключительных случаях.

СТРУНЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Ситуация в теории струн не менее драматична. Всё дело в том, какие новые возможности открываются в теории струн, по сравнению с теорией полей-частиц, при использовании механизма Калуцы – Клейна. Струны могут делать нечто, совершенно недоступное частицам: при наличии хотя бы одного скрученного измерения они могут наматываться на маленькое колечко, соответствующее этому измерению. Струна может обкрутиться вокруг такого кольца один или несколько раз. А с точки зрения наблюдателя в пространстве-времени, как ни странно, такое поведение струн будет приблизительно описываться как появление некоторых частиц. При определённых соотношениях между радиусом свёрнутого измерения и интенсивностью взаимодействия струн такие частицы становятся лёгкими, и имеет смысл сравнивать их с теми безмассовыми частицами, которые ожидались с самого начала, – они соответствуют низшим гармоникам колебаний струны.

В итоге получается, что при слабом взаимодействии между струнами, в области применимости стандартной теории возмущений, струна рождает частицы определённого типа, реализующие определённые симметрии в частности – суперсимметрию. В другом диапазоне интенсивности взаимодействия струн, уже вне рамок обычной теории возмущений, струна может порождать совсем другие частицы с другими симметриями и суперсимметриями. Что же такое струна «на самом деле»? Какие частицы в ней все-таки есть, а каких нет?

Вопрос стоит даже ещё более серьёзно, поскольку дело не ограничивается только частицами.

Теория каждого из пяти типов суперструн способна таким (или почти таким) способом порождать наборы новых частиц, которые выглядят соответствующими колебаниям суперструны другого типа. Это происходит вне рамок теории возмущений, в области сильной связи. Так, теория, имеющая в области слабой связи тип I, умеет где-то в области сильной связи «притворяться» теорией типа II, и наоборот. Но тогда приходится признать: всё, что мы думаем о теории струн в области её слабой связи, своего рода «притворство», то есть описание только части полной теории. Полная же теория имеет различные «секторы», в которых она приближённо описывается разными типами теории струн. Но тогда она сама по себе не может быть только теорией струн.

Само описание теории струн как таковой оказывается лишь приближением к какой-то фундаментальной теории, для описания которой у нас нет пока адекватного языка. Настоящая теория только выглядит как теория струн в области своей слабой связи и в некоторых диапазонах области сильной связи. А об устройстве области сильной связи в целом мы только начинаем догадываться.

Конечно, чрезвычайно хочется узнать: а как же на самом деле выглядит теория, впервые приоткрывшаяся нам в форме теории суперструн? На выяснение этого интригующего вопроса в последнее время направлено множество усилий. Уникальна сама по себе возможность – впервые(!) – всерьёз обсуждать подобные вопросы. Искомая теория получила название M-теории, от слова mystery (тайна, загадка) или от слова мембрана (почему, будет вкратце объяснено ниже). Это именно та теория, различные фазы которой может приближённо описывать одна из пяти имеющихся в десятимерии теорий суперструн. Вспомним, например, что обычная классическая ньютоновская механика оказывается приближённым описанием релятивистской механики Эйнштейна. И та же классическая механика – приближение, но уже в другой области, к квантовой механике.

M-теории удаётся «выпадать» в каждую из теорий суперструн только если она – M-теория – живёт в пространстве размерностью более десяти. Первоначально предлагалось поселить эту теорию в одиннадцатимерии. Тогда, используя механизм Калуцы – Клейна, можно примерно увидеть, каким образом «лишние» (по сравнению с десятимерием) степени свободы теории в одиннадцатимерном пространстве комбинируются в десятимерный мир, населённый суперструнами. Одна из теорий суперструн получается, когда одиннадцатое измерение скручивается в очень маленькую окружность. Другой её вариант возникает, когда M-теория выделяет два десятимерных подпространства в одиннадцатимерном пространстве – две параллельные гиперплоскости на некотором, опять же очень малом, расстоянии друг от друга. Тогда 10-мерный мир воспроизводится граничными эффектами чего-то более общего, происходящего во всём объёме 11-мерного пространства.

	Располагая над каждой точкой одномерного пространства – линии – кольца и сливая их вместе, мы получим двумерное пространство – цилиндр. Проделав такую же процедуру с замкнутой линией, мы построим тор. Аналогичным образом с каждой точкой нашего четырёхмерного пространства-времени ассоциировано шестимерное пространство. Вместе они образуют десятимерное пространство.

Ряд тонких свойств каждой из пяти суперструнных теорий, до этого казавшихся удивительной игрой случайностей, приобретают теперь прозрачное объяснение. В соответствии с современной теоретической физикой это должно означать, что M-теория действительно существует, хотя мы знаем только о её поведении при специальном скручивании и других сходных действиях в одиннадцатом измерении. Впрочем, есть и ещё один ключ: в пределе, при слабой связи и низкой энергии, M-теория превращается в одиннадцатимерную супергравитацию. Таким образом, заодно оказалось, что высшая суперсимметричная теория поля, до этого стоявшая несколько особняком от суперструн, может быть включена в единую картину Мира!

Желание вывести из единого источника все теории суперструн требует ещё одного шага в сторону более высокой размерности. Требуется двенадцатимерное пространство, в котором, наряду с десятью пространственными измерениями, имеется два времени. Наличие двух временных переменных часто порождает ситуации, противоречащие интуиции, поскольку всегда считалось, что всерьёз можно рассматривать максимум одно такое измерение. И действительно, нелегко представить себе, каким образом, например, назначать свидание в мире с двумя независимыми временами. И как понять, какие события произошли в прошлом (вдоль какого времени?), а какие – нет.

Загадочным в искомой двенадцатимерной теории оказывается ещё следующее обстоятельство: в то время как каждая из пяти теорий суперструн суперсимметрична, никакой подобной суперсимметрии в двенадцатимерии существовать не может (как уже упоминалось, суперсимметрия весьма чувствительна к размерности пространства, в котором ей предстоит действовать). Это бросает вызов исследователям: как сконструировать теорию, которая не суперсимметрична, но скрывает в себе способность порождать различные суперсимметричные теории в низших размерностях? Жёсткие требования суперсимметрии при отборе жизнеспособных теорий должны замениться на какой-то руководящий принцип, который, не будучи суперсимметрией, действует по крайней мере столь же эффективно.

Итак, чего же ждать от M-теории? Создаваемое ею пространство-время, вместе с находящимися в нём полями, только одна из возможностей развития этой теории. Привычное нам пространство-время существует в «суперструнной» фазе M-теории, но она сама по себе кроме суперструн содержит протяжённые объекты более высокой размерности. Ими могут быть, например, мембраны. Сама по себе мембрана – поверхность двумерная, а её эволюция описывается уже трёхмерным мировым объёмом, в котором два пространственных и одно временное измерение. Мембраны называют ещё странным термином – «2-браны», подчёркивая их двумерность. Наряду с 2-бранами могут существовать 3-, …, 10-браны, и некоторые из них (в суперсимметричном варианте) действительно можно разглядеть в M-теории. К сожалению, исследовать их очень трудно, если только это не 1-браны, то есть струны. Известно, что некоторые из них дают двойственное описание тех же самых струн, а другие двойственны друг другу, и не все из них оказались фундаментальными, «элементарными», объектами в M-теории. Похоже, что M-теория в определённых фазах способна создавать «много-браны», а в другой фазе вместо этого создавать суперструны в пространстве-времени с десятью и с меньшим числом измерений. M-теория знает, как подобные миры взаимодействуют, дробясь и сливаясь друг с другом. Динамика, в которой сосуществуют объекты разных врождённых размерностей, должна быть очень сложной, и мы пока не знаем лежащего в её основе принципа. Удивительно же на настоящий момент уже то, что мы вообще догадались о существовании подобной теории и осмеливаемся задавать вопросы, ответы на которые не только опишут свойства нашего мира, но и позволят сделать заключение о возможности сушествования и свойствах других миров, совершенно не похожих на наш.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одному из ведущих исследователей теории струн принадлежит высказывание, что суперструны – это часть физики XXI века, случайно проскользнувшая в наше время. Если так, то тем больше оснований думать о том, как нам повезло. Открытые теоретиками по совершенно другому поводу, по существу действительно случайно, струны обогатили теоретическую физику рядом новых идей и концепций, предложив нам средства, позволяющие уже сейчас всерьёз задумываться о строении Мира даже за пределами наблюдаемой его части.

• ПОДРОБНОСТИ ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

КАК ПРЕДСТАВИТЬ НЕПРЕДСТАВИМОЕ, ИЛИ КОЕ-ЧТО О ЧЕТВЁРТОМ ИЗМЕРЕНИИ

Представить себе суперструны, живущие в пространстве десяти измерений, действительно чрезвычайно сложно. Весь наш повседневный опыт говорит, что пространство должно иметь только три измерения, и мы не в силах представить себе, каким образом, например для отображения времени, можно расположить четыре перпендикулярные друг к другу координаты, не говоря уже о десяти, одиннадцати или двенадцати.

Математикам проще. Им нет нужды думать, как будет выглядеть, скажем, многомерная сфера. Они оперируют уравнениями. Выражение x ² + у ² = R ², например, описывает окружность на плоскости (в двумерном пространстве) с центром в начале координат. Трёхмерную сферу определяет уравнение x ² + у ²+ z ² = R ². В пространстве четырёх измерений аналогичная формула опишет четырёхмерную гиперсферу x ² + у ²+ z ² + u ² = R ². Добавив нужное число координат, можно получить пяти-, шести-, и вообще любую n-мерную гиперсферу: x ² + у ²+ z ² + u ²+ v ²+ … + w ² = R ², не задумываясь о том, как её можно было бы представить наглядно. Аналогичным образом математики используют уравнения для описания гораздо более сложных поверхностей (их называют уже подмножествами) в пространствах любого числа измерений и даже дробной размерности (см. «Наука и жизнь» № 4, 1994 г., №№ 8, 12, 1995 г.).

И всё-таки попытаемся представить себе, как будет выглядеть в нашем трёхмерном пространстве, скажем, четырёхмерный куб (на большее число измерений у нас просто не хватит воображения).

В одномерном «пространстве» – на линии – выделим отрезок AB длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от AB нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат ABCD. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб ABCDHEFG. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём!) на расстояние L, мы получим гиперкуб.

Одномерный отрезок AB служит гранью двумерного квадрата ABCD, квадрат – стороной куба ABCDHEFG, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат – четыре вершины, куб – восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 – сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра – по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение.

Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани – 12 квадратов исходного куба в двух положениях плюс 12 квадратов от двенадцати его рёбер.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.

Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями – боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединенных восемью рёбрами. При этом сами «ящики» – трёхмерные грани – будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие (они нарисованы пунктиром), протянутся в четвёртом измерении. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Её часть, оставшаяся в «нашем» пространстве, нарисована сплошными линиями, а то, что ушло в гиперпространство, – пунктирными. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав восемь граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру – развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны первой, исходной, грани плюс ещё один – грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного – конечной «гиперграни».

Конечно, даже наглядное представление о четырёхмерном гиперпространстве вряд ли поможет понять, как выглядит 10 – 12-мерие, а рассказ о суперструнах может отпугнуть своей сложностью. Но даже и в этом, самом неблагоприятном для читателя случае рассказ о суперструнах выполнил по крайней мере одну из своих задач. Он ярко показал, насколько непрост наш мир и как интересно его исследовать.

Передвигая отрезок длиной L по плоскости, можно «нарисовать» квадрат. Квадрат, сдвинутый в пространстве, сформирует куб. Сумев каким-то образом «вдвинуть» куб в четвёртое измерение, мы получили бы гиперкуб.		Плоское изображение трёхмерного куба. Дальняя его грань уменьшена, а четыре боковые грани выглядят как трапеции из-за перспективного сокращения.

Объёмное изображение четырёхмерного гиперкуба. В перспективе шесть его боковых граней выглядят как усечённые пирамиды, а задняя грань кажется кубиком меньших размеров, чем передняя.		Под другим углом зрения все восемь кубических граней гиперкуба будут выглядеть несколько иначе.

На двумерной развёртке куба все шесть его граней расположатся в одной плоскости.		Трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба образует объём, составленный из восьми кубов.