Два мифа о парадоксе близнецов

Предисловие ↑

Песня, куплет из которой приведён в эпиграфе, – шутка известного барда. Тем не менее, отметим, что автор был плохо знаком со школьной астрономией. Созвездия не бывают близкими или далёкими. Близкой или далёкой может быть звезда, входящая в созвездие. Созвездие – это всего лишь область на поверхности воображаемой небесной сферы, ограниченная условным контуром. Звёзды и другие объекты, изображения которых проецируются внутрь этой области, считаются входящими в это созвездие. Они обозначаются буквами греческого алфавита и названием созвездия. Не существует созвездия «Тау Кита». Есть созвездие «Кит» («Cet»), а тау Кита (τ Cet) – одна из звёзд, входящих в это созвездие.

Высоцкий упомянул так называемый «парадокс близнецов», суть которого состоит в том, что часы, которые перемещались и возвратились в точку отправления, отсчитают меньший промежуток времени, чем часы, покоившиеся в точке отправления. Покоящимися считаем часы, которые на протяжении всего эксперимента были связаны с одной и той же инерциальной системой отсчёта, т. е. не перемещались из одной инерциальной системой отсчёта в другую, а значит не испытывали ускорений. Перемещающимися считаем часы, первоначально связанные с инерциальной системой отсчёта, которая с постоянной скоростью удалялась от покоящихся часов, а для возврата в точку нахождения покоящихся часов переместились в другую инерциальную систему отсчёта, которая с постоянной скоростью приближалась к покоящимся часам. Разница в показаниях часов будет тем бо́льшая, чем ближе к скорости света была скорость перемещавшихся часов относительно покоящихся часов.

И если представить двоих близнецов, один из которых совершил космическое путешествие со скоростью соизмеримой со скоростью света относительно другого близнеца, который оставался на Земле, то «астронавт-путешественник», вернувшись на Землю, окажется моложе своего «брата-домоседа». Высоцкий ошибся лишь в том, что невозможна ситуация, чтобы за период путешествия до τ Cet и обратно «Земля… ушла лет на триста вперёд». Разница в длительности путешествия по часам «астронавта» и «домоседа» не может превысить время, необходимое свету для преодоления расстояния от точки отправления до цели путешествия и обратно, которое в данном случае составит чуть менее 24 лет, поскольку расстояние между Землёй и τ Cet составляет 11,9 световых годов.

Факт сокращения длительности путешествия по времени «астронавта» по сравнению с длительностью путешествия по времени «домоседа», следующий из созданной Эйнштейном более века назад специальной теории относительности, является банальностью. Но и сегодня находятся «ниспровергатели», которые, спекулируя на слове «парадокс», пытаются этот факт оспаривать. На самом деле, парадокс измышляют они сами, а затем «успешно» его решают, объявляя теорию относительности несостоятельной. К сожалению, в научно-популярной литературе этот «парадокс» рассматривается не самым подробным и не самым корректным образом. Порой даже физики-теоретики разбирая его тоже допускают некорректные объяснения, которые на самом деле имеют статус мифов, два из которых разберём в предлагаемой статье.

1. Сокращения, обозначения, определения ↑

СТО – специальная теория относительности.

ОТО – общая теория относительности.

Система отсчёта – бесконечная ось x, имеющая выделенное положительное направление, в начале координат которой установлены часы, отсчитывающие время этой системы отсчёта. Значения скоростей, ускорений, перемещений считаем положительными, если они направлены в сторону положительного направления оси x, и отрицательными – если против этого направления. Все используемые в статье системы отсчёта пространственно одномерны: значения любых физических величин по осям y и z всегда равны нулю.

Сопутствующая система отсчёта (ССО) – система отсчёта, начало координат которой жёстко привязано к конкретному наблюдателю вне зависимости от характера его движения или состояния покоя. Поскольку реальные наблюдатели, к которым могут быть привязаны ССО, всегда имеют не нулевую массу, то относительные скорости всех ССО всегда строго меньше скорости света.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) – система отсчёта, начало координат которой жёстко привязано к конкретному наблюдателю не испытывающему ускорений. Любая ИСО для кого-то из наблюдателей обязательно является и ССО.

Принцип относительности. Описание любого закона природы, выраженного через параметры, отображаемые в одной ИСО, всегда идентично описанию того же закона природы, выраженного через аналогичные параметры, отображаемые в любой другой ИСО. В частности, структура уравнений, описывающих законы движения через координаты и время, отображаемые в одной ИСО, идентична структуре уравнений, описывающих те же законы движения через координаты и время, отображаемые в любой другой ИСО.

Скорость света. Всегда обозначена курсивом строчной буквы «c» латинского алфавита.

2. Формулировка мифов ↑

Классический вариант парадокса близнецов рассматривает движение наблюдателя (Астронавт) относительно стартовой ИСО, в которой остаётся другой наблюдатель (Домосед), в отдалённую точку цели путешествия, остановку в этой точке, движение в обратном направлении и возврат в точку старта, где Астронавт и Домосед сравнивают длительность путешествия по показаниям своих часов. Предполагается, что наборы скорости и торможения Астронавта происходят почти «мгновенно», что привносит в фабулу сомнение в её реалистичности – не бывает ничего мгновенного. При этом даже профессиональные физики-теоретики, разбирая этот сюжет, не всегда вникают в суть основ СТО и ОТО – в принципы относительности и эквивалентности – в результате чего появляются мифы, искажающие реальность.

Основных мифов два.

Миф первый. «Наличие симметрии между Астронавтом и Домоседом».

Если, опираясь на принцип относительности, условно покоящимся считать Астронавта, а условно движущимся – Домоседа, то применение преобразований Лоренца к движению участников должно привести к ответу, что часы Домоседа зафиксируют меньшую длительность путешествия, чем часы Астронавта.

Р. Фейнман описывает этот миф следующим образом:

…рассмотрим известный «парадокс» – парадокс близнецов, скажем, Петера и Пауля. Пауль улетает на космическом корабле с очень высокой скоростью. Петер остаётся на Земле. Он видит, что Пауль уносится с огромной скоростью, и ему кажется, что часы Пауля замедляют свой ход, сердце Пауля бьется реже, мысли текут ленивее. С точки зрения Петера, всё замирает. Сам же Пауль, конечно, ничего этого не замечает. Но когда после долгих странствий он возвратится на Землю, он окажется моложе Петера! Верно ли это? Да, это одно из тех следствий теории относительности, которые легко продемонстрировать. Мю-мезоны живут дольше, если они движутся; так и Пауль проживёт дольше, если будет двигаться. «Парадоксом» это явление называют лишь те, кто считает, что принцип относительности утверждает относительность всякого движения. Они восклицают: «Хе-хе-хе! А не можем ли мы сказать, что с точки зрения Пауля двигался Петер и что именно Петер должен был медленнее стареть? Из симметрии тогда следует единственный возможный вывод: при встрече возраст обоих братьев должен оказаться одинаковым», [1].

Рассуждение о наличии симметрии ошибочно. Петер (Домосед) весь период ожидания Пауля находится в одной и той же ИСО, а Пауль (Астронавт) движется от Земли к цели в одной ИСО, а возвращается на Землю перейдя в другую ИСО, что и указывает на неравноправность участников. Вне зависимости от того, кто из участников будет считаться условно покоящимся, а кто – условно движущимся, корректное применение преобразований Лоренца всегда приводит к ответу, что часы Астронавта отображают меньшую длительность путешествия, чем часы Домоседа. Причина этого кроется в том, что для Астронавта длительности путей «туда» и «обратно» определяются по часам, привязанным к разным ИСО, одна из которых является для него сопутствующей на пути «туда», а другая – сопутствующей на пути «обратно». На пути «туда» оба события – старт с Земли и финиш у цели для Астронавта происходят в одной и той же точке пространства – в начале координат ИСО, которая является для него сопутствующей на пути «туда». Расстояние между событиями старта и финиша в этой сопутствующей ему ИСО нулевое. Поэтому промежуток времени на пути «туда» является промежутком его собственного времени, который короче промежутка времени по часам любой другой ИСО, относительно которой эти события происходят в разных точках пространства. В частности, таковой является ИСО Домоседа, в которой эти же события старта и финиша разделены расстоянием от Земли до цели: событие старта Астронавта в ИСО Домоседа происходит в начале её координат, а событие финиша Астронавта у цели – на расстоянии нахождения цели. И промежуток времени по часам Домоседа, не являясь промежутком собственного времени, длительнее, чем по часам Астронавта. Аналогичная ситуация имеет место и при возвратном движении. На пути «обратно» события старта от цели и финиша на Земле для Астронавта происходят тоже в одной и той же точке пространства – в начале координат ИСО, которая для него является сопутствующей на пути «обратно». Расстояние между этими событиями в этой сопутствующей ИСО тоже нулевое. И промежуток времени на пути «обратно» тоже является промежутком его собственного времени. А для Домоседа эти события разделены тем же расстоянием между Землёй и целью и поэтому промежуток времени между ними, не являясь промежутком собственного времени, длительнее, чем по часам Астронавта. Промежутки времени между событиями стартов и финишей по часам Астронавта всегда будут промежутками его собственного времени в отличие от промежутков не собственного времени, измеряемых часами Домоседа. Подробный анализ, указывающий на ошибочность этого мифа, с опорой на преобразования Лоренца и на понятие интервала проведён в разделе 4.

Миф второй. «Для анализа ускоренного движения Астронавта требуется использовать ОТО».

Поскольку при перемещении Астронавта из одной ИСО в другую ИСО для возвращения на Землю он испытывает ускорение, то на него действуют силы инерции, которые подобно силам гравитации влияют на темп течения времени. Поэтому для анализа движения Астронавта необходимо учитывать эффекты ОТО.

Миф основан на непонимании того факта, что ОТО – теория гравитации, но не теория ускоренного движения. Поэтому утверждение о необходимости применения ОТО для анализа ускоренного движения Астронавта – безграмотность. Основами ОТО являются уже построенная СТО и установленный ещё Галилеем и Ньютоном принцип эквивалентности, который позволил Эйнштейну применить построения СТО для описания гравитационных взаимодействий, что им и было названо ОТО. При этом уравнения, описывающие ускоренное движение объектов при достижении ими скоростей соизмеримых со скоростью света при отсутствии гравитации, остаются следствием только СТО. Для их создания принцип эквивалентности не требуется, а в силу того, что ускоренное движение, в отличие от гравитации, пространственно однородно и не приводит к искривлению пространства, для его описания не требуются сложные математические построения, основанные на тензорном анализе и дифференциальной геометрии, но вполне достаточно почти школьной математики применительно к плоской псевдоевклидовой геометрии в рамках кинематики СТО. Сказанное относится в равной степени как к ускорениям Астронавта при его перемещениях из одной ИСО в другую для возвращения на Землю, так и к ускорениям, действующим на Астронавта при разгонах-торможениях от Земли в сторону цели и обратно от цели в сторону Земли. Подробный анализ движения Астронавта с ускорениями при его разгонах-торможениях на пути «туда» и «обратно», указывающий на ошибочность этого мифа, с опорой на соотношения ускоренного движения СТО, следующие из [2], проведён в разделе 6.

3. Преобразования Лоренца и закон сложения скоростей ↑

Преобразования Лоренца (прямые) позволяют найти расстояние Δx и промежуток времени Δt между двумя событиями в условно покоящейся ИСО «K» через расстояние Δx' и промежуток времени Δt' между этими же событиями в ИСО «K'», условно движущейся с постоянной скоростью V относительно ИСО «K» вдоль её оси x:

Преобразования Лоренца (обратные) позволяют найти расстояние Δx' и промежуток времени Δt' между двумя событиями в условно движущейся ИСО «K'» через расстояние Δx и промежуток времени Δt между этими же событиями в условно покоящейся ИСО «K», относительно которой вдоль её оси x с постоянной скоростью V движется ИСО «K'»:

Расстояния Δx', Δx и промежутки времени Δt', Δt представляют собой разности координат и моментов времени между событием 1 и событием 2, которые могут быть зафиксированы в каждой из рассматриваемых ИСО:

Расстояния и промежутки времени между событиями могут быть и положительными, и отрицательными. Но в нашем случае все промежутки времени Δt' и Δt будут только положительными, поскольку каждый из них будет определяться событиями, связанными с началом и завершением конкретного этапа движения того или иного наблюдателя: событие 1 – начало этапа движения, событие 2 – более позднее завершение этого же этапа. Расстояния Δx' и Δx могут принимать и положительные, и отрицательные значения, поскольку они будут отображать пространственные смещения наблюдателей, которые в разных случаях будут двигаться как в положительных, так и в отрицательных направлениях осей x и x' относительно ИСО других наблюдателей.

Опираясь на принцип относительности, условно покоящейся можно считать ИСО «K'», а условно движущейся – ИСО «K». При этом все уравнения движения, в т. ч. и преобразования Лоренца, должны иметь тот же вид, что и в предшествующем случае. Для такого представления преобразования Лоренца следует всего лишь переписать, поменяв местами штрихованные значения координат и времени на нештрихованные и наоборот, а вместо скорости V, с которой ИСО «K'» двигалась относительно ИСО «K» и которая была использована в преобразованиях (3.1) и (3.2), следует применить скорость V', с которой в этом представлении движется ИСО «K» относительно ИСО «K'».

Интуитивно понятно, что абсолютная величина скорости V', которую следует использовать в преобразованиях (3.1') и (3.2'), останется прежней, а её знак следует изменить на противоположный V' = –V, поскольку теперь ИСО «K» условно движется относительно ИСО «K'» в противоположном направлении. Но это легко показать и математически. Скорость движения ИСО «K» относительно ИСО «K'» – это скорость движения начала координат ИСО «K» относительно ИСО «K'». Смещение начала координат ИСО «K» относительно ИСО «K'» за период времени Δt' по часам ИСО «K'» составляет Δx', откуда и находим значение скорости V' = Δx'/Δt'. Учитывая, что начало координат ИСО «K» в своей ИСО не перемещается, его смещение относительно ИСО «K» равно нулю Δx = 0. Подставив Δx = 0 в (3.2), получим:

Поделив Δx' на Δt' и сократив Δt и радикалы, найдём V':

Или наоборот:

Закон сложения скоростей позволяет найти постоянную скорость u объекта относительно условно покоящейся ИСО «K», если этот объект движется с постоянной скоростью u' вдоль оси x' ИСО «K'», которая в свою очередь движется с постоянной скоростью V вдоль оси x ИСО «K»:

Если в качестве движущегося объекта рассматривать фотон, движущийся со скорость света u' = c относительно движущейся ИСО «K'», то относительно условно покоящейся ИСО «K» он будет двигаться тоже со скоростью света u = c вне зависимости от скорости V движения ИСО «K'» относительно ИСО «K».

Все скорости, входящие в (3.4), могут быть как положительными, так и отрицательными. В приведённой форме это соотношение применимо только для случая, когда скорости направлены вдоль осей x' и x, лежащих на одной прямой.

4. Миф первый.     
«Наличие симметрии между Астронавтом и Домоседом» ↑

Участники эксперимента: наблюдатели «A», «B», «C» ↑

На всём протяжении эксперимента Домосед ассоциирован с условно покоящимся наблюдателем «A», который связан с сопутствующей ему ИСО «A». Для того, чтобы избежать нереалистичного «мгновенного» изменения направления движения Астронавта, считаем, что при движении в разных направлениях он ассоциирован с разными наблюдателями: при движении в сторону цели – с наблюдателем «B», который связан с сопутствующей ИСО «B», а при движении в обратном направлении – с наблюдателем «C», который связан с сопутствующей ИСО «C». Эксперимент делим на два этапа. Первый этап – движение наблюдателя «B» от начала координат ИСО «A» до точки встречи с наблюдателем «C» – аналог движения Астронавта от точки старта до цели. Второй этап – движение наблюдателя «C» от точки встречи с наблюдателем «B» до начала координат ИСО «A» – аналог возвратного движения Астронавта от цели до точки старта.

Наблюдатели «B» и «C» движутся относительно ИСО «A» навстречу друг другу. Наблюдатель «B» – со стороны близких отрицательных значений оси x_A в сторону их увеличения с постоянной скоростью V_BA > 0. Наблюдатель «C» – со стороны отдалённых положительных значений оси x_A в сторону их уменьшения с постоянной скоростью V_CA < 0. Выражения «со стороны близких отрицательных значений» и «со стороны отдалённых положительных значений» означают выполнение условия, что скорости и расстояния подобраны таким образом, что наблюдатель «B» достигает начала координат ИСО «A» раньше наблюдателя «C» с таким расчётом, чтобы встреча наблюдателей «B» и «C» произошла в точке, имеющей положительную координату на оси x_A . Эти условия не обязательны, но они делает эксперимент более наглядным. Рис. 1.

ИСО «A» – аналог ИСО Домоседа на всём протяжении эксперимента.

ИСО «B» – аналог ИСО Астронавта на первом этапе эксперимента.

ИСО «C» – аналог ИСО Астронавта на втором этапе эксперимента.

Момент начала эксперимента и начала первого этапа – момент прохождения наблюдателем «B» начала координат ИСО «A». В этот момент наблюдатели «A» и «B» по радио синхронизируют свои часы на нулевых отметках текущего времени t_0A = t_0B = 0 и наблюдатель «B» продолжает инерционное движение в направлении увеличения значений оси x_A .

Момент завершения первого этапа и начала второго этапа – момент встречи наблюдателей «B» и «C». В этот момент наблюдатель «B» по радио передаёт наблюдателю «C» показания текущего времени своих часов. Часы наблюдателя «C» при получении значения текущего времени часов наблюдателя «B» автоматически устанавливаются на принятые показания времени t_1C = t_1B . Наблюдатели «B» и «C» каждый в своей сопутствующей ИСО продолжают инерционное движение относительно ИСО «A».

Момент завершения второго этапа и завершения эксперимента – момент прохождения наблюдателем «C» начала координат ИСО «A». В этот момент наблюдатель «C» по радио передаёт наблюдателю «A» показания своих часов. Наблюдатель «A» фиксирует значения длительности всего эксперимента от момента прохождения начала координат ИСО «A» наблюдателем «B» до момента прохождения начала координат ИСО «A» наблюдателем «C» по своим часам Δt_ΣA и по сумме длительностей обоих этапов Δt_ΣВC , измеренных наблюдателями «B» и «C» на соответствующих этапах и переданной ему по радио наблюдателем «C».

Длительность Δt_ΣВC всего эксперимента по часам Астронавта представляет собой сумму двух слагаемых: длительности первого этапа Δt_1В по часам ИСО «В» и длительности второго этапа Δt_2C по часам ИСО «C»:

Длительность Δt_ΣA всего эксперимента по часам Домоседа фиксируется наблюдателем «A» непосредственно по часам сопутствующей ему ИСО «A», но по сути тоже представляет собой сумму двух слагаемых: длительности первого этапа Δt_1A и длительности второго этапа Δt_2A по часам ИСО «A»:

Первый этап. Взаимное движение наблюдателей «A» и «B» ↑

Условно покоящимися считаем наблюдателя «A» и ИСО «A», а движущимися – наблюдателя «B» и ИСО «B». Применительно к обозначениям раздела 3, ИСО «A» ассоциируется с условно покоящейся ИСО «K», а ИСО «B» – с условно движущейся ИСО «K'». Промежутки времени между моментами и расстояния между точками начала и завершения этапа, отображаемые в ИСО «A», соответствуют параметрам, отображаемым в ИСО «K» раздела 3: Δt_1A = Δt и Δx_1A = Δx, а промежутки времени между моментами и расстояния между точками, отображаемые в ИСО «B», – отображаемым в ИСО «K'» раздела 3: Δt_1B = Δt' и Δx_1B = Δx'. Для перехода от одних параметров к другим и обратно следует применять соотношения (3.1) и (3.2).

ИСО «B» движется относительно ИСО «A» в положительном направлении со скоростью V_BA > 0. ИСО «C» движется относительно ИСО «A» в отрицательном направлении со скоростью V_CA < 0. Начало этапа (событие 1) – момент совмещения нулевых точек координат ИСО «B» и ИСО «A» при прохождении наблюдателем «B» начала координат ИСО «A». Завершение этапа (событие 2) – момент совмещения нулевых точек координат ИСО «C» и ИСО «B» при встрече наблюдателей «C» и «B». Рис. 1.

В ИСО «A» расстояние Δx_1A между событиями начала и завершения этапа равно расстоянию, на которое за длительность Δt_1A этапа по часам ИСО «A» наблюдатель «B», двигаясь со скоростью V_BA > 0, переместился из начала координат ИСО «A» в точку встречи с наблюдателем «C»:

Применив преобразование Лоренца (3.2), выразим промежуток времени Δt_1B = Δt' между событиями начала и завершения этапа по часам ИСО «B», движущейся со скоростью V = V_BA относительно ИСО «A», через расстояние Δx = Δx_1A между точками и через промежуток времени Δt = Δt_1A между моментами этих же событий в покоящейся ИСО «A»:

Заменив расстояние Δx_1A его значением из (4.3), получим:

Применив преобразование Лоренца (3.1), выразим промежуток времени Δt_1A = Δt между событиями начала и завершения этапа по часам покоящейся ИСО «A» через расстояние Δx' = Δx_1B между точками и через промежуток времени Δt' = Δt_1B между моментами этих же событий в ИСО «B», движущейся со скоростью V = V_BA относительно ИСО «A». Поскольку расстояние между событиями начала и завершения этапа в ИСО «B» всегда равно нулю Δx_1B = 0 (оба события происходят с наблюдателем «B», который всегда находится в начале координат этой, сопутствующей ему ИСО «B»), то в результате получим соотношение обратное, но полностью идентичное (4.4):

Опираясь на принцип относительности, условно покоящимися считаем ИСО «B» и наблюдателя «B», а движущимися ИСО «A» и наблюдателя «A». Применительно к обозначениям раздела 3, соответствия между параметрами, отображаемыми в ИСО «A» и ИСО «B», и отображаемыми в ИСО «K» и ИСО «K'» раздела 3, остаются прежними: Δt_1A = Δt и Δx_1A = Δx, Δt_1B = Δt' и Δx_1B = Δx'. Но теперь для перехода от одних параметров к другим и обратно следует применять соотношения (3.1') и (3.2').

ИСО «A» движется относительно ИСО «B» в отрицательном направлении со скоростью V_AB < 0. ИСО «C» движется относительно ИСО «B» в отрицательном направлении со скоростью V_CB < 0, которая по абсолютной величине превышает скорость V_AB . Начало этапа (событие 1) – момент совмещения нулевых точек координат ИСО «A» и ИСО «B» при прохождении наблюдателем «A» начала координат ИСО «B». Завершение этапа (событие 2) – момент совмещения нулевых точек координат ИСО «C» и ИСО «B» при прохождении наблюдателем «C» начала координат ИСО «B». Рис. 2.

Применив преобразование Лоренца (3.2'), выразим промежуток времени Δt_1A = Δt между событиями начала и завершения этапа по часам ИСО «A», движущейся со скоростью V' = V_AB относительно ИСО «B», через расстояние Δx' = Δx_1B между точками и через промежуток времени Δt' = Δt_1B между моментами этих же событий в условно покоящейся ИСО «B». Поскольку в ИСО «B» расстояние между событиями начала и завершения этапа равно нулю Δx_1B = 0, то второй член числителя обращается в ноль. В результате получим:

Расстояние Δx_1A между событиями начала и завершения этапа в движущейся ИСО «A» через скорость V_AB найдём из (4.3), заменив в соответствии с (3.3) скорость V_BA движения ИСО «B» относительно ИСО «A» скоростью движения ИСО «A» относительно ИСО «B» V_BA = –V_AB :

Применив преобразование Лоренца (3.1'), выразим промежуток времени Δt_1B = Δt' между событиями начала и завершения этапа по часам покоящейся ИСО «B» через расстояние Δx = Δx_1A между точками и через промежуток времени Δt = Δt_1A между моментами этих же событий в ИСО «A», движущейся со скоростью V' = V_AB относительно покоящейся ИСО «B»:

Заменив расстояние Δx_1A его значением из (4.7), получим соотношение обратное, но полностью идентичное (4.6):

Соотношения (4.4), (4.5) и (4.6), (4.8) попарно идентичны. Различие между парами заключается в том, что в (4.4) и (4.5) входит скорость V_BA движения наблюдателя «B» относительно условно покоящейся ИСО «A», а в (4.6) и (4.8) – скорость V_AB движения наблюдателя «A» относительно условно покоящейся ИСО «B». Но поскольку эти скорости равны по абсолютной величине и во все соотношения входят во второй степени, они могут быть заменены значением абсолютной величины скорости относительного движения наблюдателей на первом этапе V₁ = |V_AB| = |V_BA|. После такой замены все четыре соотношения становятся полностью идентичными и взаимосвязь между длительностями первого этапа по часам ИСО «A» и ИСО «B» может быть отображена одним единственным соотношением:

Второй сомножитель правой части (4.9) всегда меньше единицы. Это значит, что на этапе движения Астронавта от точки старта до цели вне зависимости от того по каким – прямым или обратным – преобразованиям Лоренца были проведены расчёты и вне зависимости от принятого представления об условном покое или условном движении любого из наблюдателей результат расчёта будет однозначен: часы Астронавта объективно зафиксируют меньшую длительность этапа, чем часы Домоседа.

Второй этап. Взаимное движение наблюдателей «A» и «C» ↑

Условно покоящимися считаем наблюдателя «A» и ИСО «A», а движущимися – наблюдателя «C» и ИСО «C». Применительно к обозначениям раздела 3, ИСО «A» ассоциируется с условно покоящейся ИСО «K», а ИСО «C» – с условно движущейся ИСО «K'». Промежутки времени между моментами и расстояния между точками начала и завершения этапа, отображаемые в ИСО «A», соответствуют параметрам, отображаемым в ИСО «K» раздела 3: Δt_2A = Δt и Δx_2A = Δx, а промежутки времени между моментами и расстояния между точками, отображаемые в ИСО «C», – отображаемым в ИСО «K'» раздела 3: Δt_2C = Δt' и Δx_2C = Δx'. Для перехода от одних параметров к другим и обратно следует применять соотношения (3.1) и (3.2).

ИСО «C» движется относительно ИСО «A» в отрицательном направлении со скоростью V_CA < 0. ИСО «B» движется относительно ИСО «A» в положительном направлении со скоростью V_BA > 0. Начало этапа (событие 1) – момент совмещения нулевых точек координат ИСО «B» и ИСО «C» при встрече наблюдателей «B» и «C». Завершение этапа (событие 2) – момент совмещения нулевых точек координат ИСО «C» и ИСО «A» при прохождении наблюдателем «C» начала координат ИСО «A». Рис. 3.

В ИСО «A» расстояние Δx_2A между событиями начала и завершения этапа равно расстоянию, на которое за длительность Δt_2A этапа по часам ИСО «A» наблюдатель «C», двигаясь со скоростью V_CA < 0, переместился из точки встречи с наблюдателем «B» в начало координат ИСО «A»:

Применив преобразование Лоренца (3.2), выразим промежуток времени Δt_2C = Δt' между событиями начала и завершения этапа по часам ИСО «C», движущейся со скоростью V = V_CA относительно ИСО «A», через расстояние Δx = Δx_2A между точками и через промежуток времени Δt = Δt_2A между моментами этих же событий в покоящейся ИСО «A»:

Заменив расстояние Δx_2A его значением из (4.10), получим:

Применив преобразование Лоренца (3.1), выразим промежуток времени Δt_2A = Δt между событиями начала и завершения этапа по часам покоящейся ИСО «A» через расстояние Δx' = Δx_2C между точками и через промежуток времени Δt' = Δt_2C между моментами этих же событий в ИСО «C», движущейся со скоростью V = V_CA относительно ИСО «A». Поскольку расстояние между событиями начала и завершения этапа в ИСО «C» всегда равно нулю Δx_2C = 0 (оба события происходят с наблюдателем «C», который всегда находится в начале координат этой, сопутствующей ему ИСО «C»), то в результате получим соотношение обратное, но полностью идентичное (4.11):

Опираясь на принцип относительности, условно покоящимися считаем ИСО «C» и наблюдателя «C», а движущимися ИСО «A» и наблюдателя «A». Применительно к обозначениям раздела 3, соответствия между параметрами, отображаемыми в ИСО «A» и ИСО «C», и отображаемыми в ИСО «K» и ИСО «K'» раздела 3, остаются прежними: Δt_2A = Δt и Δx_2A = Δx, Δt_2C = Δt' и Δx_2C = Δx'. Но теперь для перехода от одних параметров к другим и обратно следует применять соотношения (3.1') и (3.2').

ИСО «A» движется относительно ИСО «C» в положительном направлении со скоростью V_AC > 0. ИСО «B» движется относительно ИСО «C» в положительном направлении со скоростью V_BC > 0, которая превышает скорость V_AC . Начало этапа (событие 1) – момент совмещения нулевых точек координат ИСО «B» и ИСО «C» при прохождении наблюдателем «B» начала координат ИСО «C». Завершение этапа (событие 2) – момент совмещения нулевых точек координат ИСО «A» и ИСО «C» при прохождении наблюдателем «A» начала координат ИСО «C». Рис. 4.

Применив преобразование Лоренца (3.2'), выразим промежуток времени Δt_2A = Δt между событиями начала и завершения этапа по часам ИСО «A», движущейся со скоростью V' = V_AC относительно ИСО «C», через расстояние Δx' = Δx_2C между точками и через промежуток времени Δt' = Δt_2C между моментами этих же событий в условно покоящейся ИСО «C». Поскольку в ИСО «C» расстояние между событиями начала и завершения этапа равно нулю Δx_2C = 0, то второй член числителя обращается в ноль. В результате получим:

Расстояние Δx_2A между событиями начала и завершения этапа в движущейся ИСО «A» через скорость V_AC найдём из (4.10), заменив в соответствии с (3.3) скорость V_CA движения ИСО «C» относительно ИСО «A» скоростью движения ИСО «A» относительно ИСО «C» V_CA = –V_AC :

Применив преобразование Лоренца (3.1'), выразим промежуток времени Δt_2C = Δt' между событиями начала и завершения этапа по часам покоящейся ИСО «C» через расстояние Δx = Δx_2A между точками и через промежуток времени Δt = Δt_2A между моментами этих же событий в ИСО «A», движущейся со скоростью V' = V_AC относительно покоящейся ИСО «C»:

Заменив расстояние Δx_2A его значением из (4.14), получим соотношение обратное, но полностью идентичное (4.13):

Соотношения (4.11), (4.12) и (4.13), (4.15) попарно идентичны. Различие между парами заключается в том, что в (4.11) и (4.12) входит скорость V_CA движения наблюдателя «C» относительно условно покоящейся ИСО «A», а в (4.13) и (4.15) – скорость V_AC движения наблюдателя «A» относительно условно покоящейся ИСО «C». Но поскольку эти скорости равны по абсолютной величине и во все соотношения входят во второй степени, они могут быть заменены значением абсолютной величины скорости относительного движения наблюдателей на втором этапе V₂ = |V_AC| = |V_CA|. После такой замены все четыре соотношения становятся полностью идентичными и взаимосвязь между длительностями второго этапа по часам ИСО «A» и ИСО «C» может быть отображена одним единственным соотношением:

Второй сомножитель правой части (4.16) всегда меньше единицы. Это значит, что аналогично тому, что было сказано по результатам первого этапа, на этапе движения Астронавта в обратном направлении от цели до Земли вне зависимости от того по каким – прямым или обратным – преобразованиям Лоренца были проведены расчёты и вне зависимости от принятого представления об условном покое или условном движении любого из наблюдателей результат расчёта будет однозначен: часы Астронавта объективно зафиксируют меньшую длительность этапа, чем часы Домоседа.

Анализ результатов ↑

Итак, расчёты показывают, что, вне зависимости от того, кого – Домоседа или Астронавта – считать условно покоящимся, длительности обоих этапов по часам Астронавта всегда меньше, чем длительности этих же этапов по часам Домоседа, что казалось бы нарушает принцип относительности. На самом деле нарушения принципа относительности в этом нет. Длительности промежутков времени между физическими событиями являются физическими величинами, значения которых не могут зависеть от нашего мнения об условном покое или условном движении тех или иных ИСО или от применённых нами формул преобразований Лоренца. Различия длительностей этапов в ИСО Домоседа и в ИСО Астронавта являются физическим фактом, обусловленным наличием объективных физических предпосылок.

Эти предпосылки заключаются в том, что рассматриваемые события происходят именно с Астронавтом, который на первом этапе не смещается относительно сопутствующей ему ИСО «B», а на втором – относительно сопутствующей ему ИСО «C». Расстояния между событиями старта-финиша, происходящими с Астронавтом в ИСО «B» и ИСО «C» соответственно этапу, всегда нулевые Δx_1B = 0 и Δx_2C = 0. Напротив, в ИСО «A» Домоседа события старта-финиша, происходящие с Астронавтом, всегда разделены расстояниями Δx_1A и Δx_2A (см. (4.3), (4.7) и (4.10), (4.14)) вне зависимости от того, считать ли ИСО «A» условно покоящейся или условно движущейся. Если ИСО «A» считать условно покоящейся, то эти расстояния определяются смещениями наблюдателей «B» и «C» относительно ИСО «A» за соответствующие этапы. В противном случае, эти расстояния определяются смещениями наблюдателя «A» и связанной с ним ИСО «A» относительно условно покоящихся (на соответствующих этпах) ИСО «B» и ИСО «C».

Суть изложенного можно рассмотреть и с другой стороны, используя понятие интервала. Интервалом между двумя событиями называется некоторая величина, определяемая соотношением, связывающим между собой её квадрат с квадратом расстояния Δx между точками и квадратом промежутка времени Δt между моментами этих событий. Обозначив интервал символом Δs, запишем определяющее его соотношение:

Интервал обладает тем замечательным свойством, что во всех ИСО, в которых фиксируются рассматриваемые события, вне зависимости от наличия или отсутствия относительных движений или состояний взаимного покоя этих ИСО значение интервала инвариантно. Если имеются движущиеся одна относительно другой ИСО «K'» и ИСО «K», в которых фиксируются два события, расстояния и промежутки времени между которыми составляют Δx', Δt' и Δx, Δt соответственно, то записав для каждой из этих ИСО значение квадрата интервала между этими событиямии в соответствии с (4.17) и приравняв правые части, в силу инвариантности интервала получим:

Если оба события происходят в одной и той же точке ИСО «K'», то в этой ИСО расстояние между ними равно нулю Δx' = 0. Подставив это значение в (4.18), приходим к соотношению:

из которого сразу видно, что значение c²∙ Δt'² всегда меньше значения c²∙ Δt², поскольку правая часть этого соотношения представляет собой разность между положительным значением c²∙ Δt² и положительным значением Δx², т. е. всегда Δt' < Δt.

Проведя простые преобразования, выразим промежуток времени Δt' между этими событиями в ИСО «K'» через расстояние Δx и промежуток времени Δt между этими же событиями в ИСО «K»:

В ИСО «K'» рассматриваемые события происходят в одной и той же точке оси x', а в ИСО «K» они разделены расстоянием Δx ≠ 0. Это значит, что любая точка ИСО «K'» за промежуток времени Δt по часам ИСО «K» смещается относительно ИСО «K» на расстояние Δx. Из этого следует, что ИСО «K'» можно считать условно движущейся относительно условно покоящейся ИСО «K» со скоростью V = Δx /Δt. Произведя замену отношения Δx /Δt на скорость V, получим:

Поскольку второй сомножитель правой части (4.19) меньше единицы, то промежуток времени Δt' короче промежутка времени Δt. Если бы мы рассматривали события, происходящие в одной и той же точке ИСО «K», то, исходя из симметрии (4.18), получили бы соотношение аналогичное (4.19), но в котором промежуток времени Δt был бы короче промежутка времени Δt'.

Таким образом, на соотношение промежутков времени между двумя событиями в различных ИСО влияет не субъективное представление об условном движении или условном покое одной ИСО относительно другой ИСО, а физический фактор – разница расстояний между этими событиями, имеющая место в этих конкретных ИСО. Если в конкретной ИСО оба события происходят в одной и той же точке, то промежуток времени между этими событиями, измеренный часами, привязанными к этой ИСО, всегда минимален по сравнению с промежутками времени между этими же событиями, измеренными часами, привязанными к другим ИСО, поскольку в других ИСО эти события будут разделены расстояниями не равными нулю. Время, измеряемое часами привязанными к началу координат конкретной ИСО, называется собственным временем этой ИСО.

На первом этапе Астронавт находится в начале координат ИСО «B» и фиксирует начальные и завершающие моменты первого этапа по часам, находящимся в начале координат ИСО «B». На втором этапе он находится в начале координат ИСО «C» и фиксирует начальные и завершающие моменты второго этапа по часам, находящимся в начале координат ИСО «C». Следовательно промежутки времени между моментами начала и завершения каждого из этапов в этих ИСО являются промежутками собственного времени этих ИСО, которые короче промежутков времени по часам ИСО «A» Домоседа Δt_1B < Δt_1A и Δt_2C < Δt_2A , поскольку в ИСО «A» события начала и завершения этапов разделены расстояниями Δx_1A и Δx_2A соответственно.

Если бы мы рассматривали события, происходящие с Домоседом, то промежуток времени между этими событиями, фиксируемый часами Домоседа, был бы промежутком собственного времени ИСО Домоседа и был бы короче промежутка времени между этими же событиями, фиксируемым часами Астронавта опять же вне зависимости от того, кого из них мы считали бы покоящимся, а кого – движущимся.

Заменив в (4.1) Δt_1В и Δt_2C их значениями из (4.9) и (4.16), найдём длительность всего эксперимента по часам Астронавта:

В классическом варианте парадокса близнецов скорости движения Астронавта в обе стороны, будучи разными по знаку, как правило принимаются равными по абсолютным величинам. В этом случае, поскольку скорости входят в это соотношение во второй степени, их обе можно заменить значением этой абсолютной величины и обозначить символом V = |V₁| = |V₂| без индексов. Теперь, используя (4.2), взаимосвязь между суммарной длительностью эксперимента по часам Астронавта и Домоседа можем выразить совсем просто:

Второй сомножитель в результирующей части всегда меньше единицы, следовательно всегда будет выполняться условие Δt_ΣBC < Δt_ΣA , т. е. длительность всего эксперимента по часам Астронавта всегда меньше длительности эксперимента по часам Домоседа вне зависимости от того, кого из них мы считаем условно покоящимся, а кого – условно движущимся и по каким – прямым или обратным – преобразованиям Лоренца были проведены расчёты. Физическая теория является именно теорией в том и только том случае, если результат её применения не зависит как от субъективных мнений её пользователей, так и от применённых пользователями входящих в эту теорию положений. В данном случае мы убеждаемся, что СТО – именно физическая теория, полностью соответствующая этим условиям.

Выводы ↑

Порой даже профессиональные физики-теоретики упускают из виду, что Астронавт, перемещаясь в сторону цели, связан с одной ИСО (аналог ИСО «B»), а для возврата переходит в другую ИСО (аналог ИСО «C»), и впадают в иллюзию, что на всём протяжении эксперимента Астронавт находится в одной и той же ИСО, которая движется относительно ИСО Домоседа с постоянной скоростью V. Эта иллюзия подталкивает к тому, чтобы, опираясь на принцип относительности, иметь право считать Астронавта условно покоящимся, а Домоседа – условно движущимся со скоростью –V относительно Астронавта на всём протяжении эксперимента и допустить, что в таком представлении должно иметь место сокращение длительности всего эксперимента по часам условно движущегося Домоседа по сравнению с длительностью эксперимента по часам якобы покоящегося Астронавта. Но такое применение принципа относительности категорически недопустимо. Не существует единой ИСО, в которой Астронавт покоился бы на всём протяжении эксперимента, поскольку достигнув цели он меняет скорость своего движения с V на –V, а это значит, что с момента изменения скорости связанная с ним ССО перестаёт быть той же ИСО, с которой он был связан до момента изменения скорости. Да, на каждом из этапов связанная с ним ССО является и ИСО, в которой он покоится, но эта связь сохраняется лишь на протяжении этапа. На каждом этапе Астронавт связан с конкретной ИСО, которая не может быть отождествлена с ИСО другого этапа. Поэтому на каждом этапе взаимное инерционное движение Астронавта и Домоседа следует рассматривать отдельно от движения на другом этапе. На первом этапе оба события – старт с Земли и финиш у цели происходят в одной и той же точке связанной с ним на этом этапе ИСО «B» – в начале её координат. На втором этапе оба события – старт от цели и финиш на Земле происходят тоже в одной и той же точке и тоже в начале координат, но уже другой ИСО – ИСО «C», с которой Астронавт связан на втором этапе. При этом расстояния между событиями стартов и финишей на обоих этапах в ИСО, сопутствующих Астронавту на каждом из этапов, нулевые. Следовательно длительности каждого из этапов по часам Астронавта представляют собой промежутки собственного времени каждой из этих ИСО. А расстояния между событиями стартов и финишей в ИСО «A» Домоседа на обоих этапах не нулевые и в обоих случаях равны расстоянию между Землёй и целью. Поэтому длительности каждого из этапов по часам Домоседа не являются промежутками собственного времени сопутствующей ему ИСО «A» и будут продолжительнее, чем по часам Астронавта.

5. Соотношения ускоренного движения СТО ↑

Соотношения ускоренного движения СТО позволяют вычислить скорость V и координату x ускоряющегося объекта относительно ИСО «K» на момент времени t по её часам, если этот объект начал разгон из состояния покоя относительно этой ИСО «K» в момент времени t = 0 по её часам из начала её координат x = 0 вдоль оси x с ускорением W', которое поддерживается постоянным на протяжении всего периода движения объекта в ускоряющейся вместе с ним неинерциальной ССО «K'» [2].

Скорость V, набранная объектом относительно ИСО «K» на момент времени t по её часам:

Координата x объекта на момент времени t по часам ИСО «K»:

Если в момент старта начало отсчёта собственного времени t' = 0 по часам ускоряющейся ССО «K'» было синхронизировано с началом отсчёта времени t = 0 по часам ИСО «K», то текущее время t' по часам ССО «K'» может быть пересчитано из текущего времени t по часам ИСО «K» следующим образом:

Ускорение может быть как положительным (направлено в положительную сторону оси x), так и отрицательным (направлено в отрицательную сторону оси x). Но нулевое значение ускорения во втором и третьем соотношениях приводит к неопределённостям вида 0/0. Поэтому наложим на ускорение ограничение W' ≠ 0 тем более, что нулевое его значение не интересно в силу тривиальности: объект не смещается из точки x = 0.

Эти соотношения будем считать классическими формулами ускоренного движения СТО. Заменим их аналогами, в которых вместо текущих значений времени t' и t и текущей координаты x будем использовать длительности промежутков времени Δt' и Δt между моментами и расстояния Δx между точками начала и завершения этапов ускорения:

Событие 1 – начало этапа ускорения, событие 2 – завершение этапа ускорения. Промежутки времени Δt' и Δt между этими событиями всегда положительны, поскольку завершение этапа ускорения – более позднее событие, чем его начало. Перемещения Δx и скорости V_end объекта по завершении этапа ускорения могут быть положительными или отрицательными в зависимости от знака (направления) ускорения W'. Но знаки всех трёх параметров W', Δx, V_end всегда одинаковы – или плюсы, или минусы. Это – следствие физических соображений: перемещение и скорость физического объекта всегда направлены в сторону действия на него ускорения.

После таких преобразований соотношения ускоренного движения становятся применимы при старте ускоряющегося объекта из любой точки оси x ИСО «K» и в любой момент времени t по её часам при условии, что до момента начала ускорения объект покоился относительно этой ИСО «K». Классические соотношения приобретают нижеследующий вид.

Скорость V_end , набранная объектом относительно ИСО «K» на момент завершения промежутка времени Δt:

Смещение Δx объекта вдоль оси x относительно ИСО «K» за промежуток времени Δt:

Промежуток времени Δt' по часам связанной с объектом ССО «K'», прошедший за промежуток времени Δt по часам ИСО «K»:

Далее будет удобнее в качестве аргумента вместо продолжительности ускорения Δt по часам стартовой ИСО «K», наряду со значением ускорения W', поддерживающимся постоянным в ССО «K'», использовать и продолжительность Δt' ускорения по часам ССО «K'». Комбинируя между собой (5.1) – (5.3) и исключая лишнее, получим соотношения, которые позволят вычислять параметры движения объекта в ИСО «K» через параметры W' и Δt', задаваемые в ускоряющейся ССО «K'»:

Для упрощения дальнейших преобразований и снижения громоздкости формул безразмерный аргумент гиперболических функций, стоящий в круглых скобках, обозначим символом Z и назовём параметром ускорения:

Соотношения для скорости, смещения и продолжительности ускоренного движения в ИСО «K» после такой замены приобретут вид:

Если на N этапах своего движения объект испытывал ускорения W'₁, W'₂ … W'_N длительностями Δt'₁, Δt'₂ … Δt'_N соответственно по времени связанной с ним ССО «K'», то обозначив символом Z_i = W'_i ∙ Δt'_i /c параметры ускорения на каждом из этих этапов, используя закон сложения скоростей (3.4) и проведя преобразования, найдём скорость объекта относительно стартовой ИСО «K» по завершении N-го этапа ускоренных движений:

Между этапами ускорений объекта могут иметь место этапы его инерционного движения, наличие которых на значении результирующей скорости, определяемой (5.8), не отразится, поскольку этапы инерционного движения не изменяют скорость объекта.

Легко видеть, что для того, чтобы по завершении N-го этапа скорость V_Nend объекта относительно стартовой ИСО «K» обратилась в ноль, т. е., чтобы объект остановился относительно ИСО «K», требуется обращение в ноль числителя (5.8), что может быть достигнуто обращением в ноль суммы в скобках:

Если этапов ускоренного движения объекта всего два – этап разгона (acceleration) с ускорением W'_ac длительностью Δt'_ac по часам ССО «K'» и этап торможения (braking) с ускорением W'_br до остановки (stop) относительно стартовой ИСО «K» длительностью Δt'_{br_stop} по часам ССО «K'», то, обозначив параметры ускорения объекта на этих этапах как

условие его остановки относительно стартовой ИСО «K» запишем совсем просто:

Найдём ещё одно полезное соотношение, связывающее параметры предшествующих ускорений Z_i объекта с преобразованиями Лоренца при его инерционном движении по завершении всех этапов ускорений. Поскольку по завершении N-го этапа ускорения скорость объекта выражается соотношением (5.8), то для результирующей скорости V_Nend выражение, стоящее под радикалом в знаменателе преобразований Лоренца, может быть преобразовано следующим образом:

откуда следует, что

или наоборот:

Таким образом, если скорость V_Nend объекта, входящая во второй член суммы под радикалом в знаменателе преобразований Лоренца, была достигнута по завершении N этапов равноускоренных движений, характеризующихся параметрами ускорений Z_i , то деление на радикал в преобразованиях Лоренца может быть заменено умножением на гиперболический косинус от суммы параметров Z_i этих ускорений.

Рассмотрим этап разгона объекта. На объект, покоящийся в ИСО «K», начинает действовать ускорение W'_ac , которое поддерживается постоянным в связанной с объектом и разгоняющейся вместе с ним ССО «K'». Разгон продолжается в течение промежутка времени Δt'_ac по часам ССО «K'». Определив в соответствии с (5.4) параметр ускорения для этапа разгона Z_ac = W'_ac ∙ Δt'_ac /c и подставив его и ускорение W'_ac в (5.5), (5.6), (5.7), найдём скорость V_ac и смещение объекта Δx_ac по завершении этапа разгона относительно ИСО «K» и длительность Δt_ac этапа разгона по её часам:

Поскольку абсолютная величина значения гиперболического синуса всегда больше абсолютной величины значения аргумента, от которого он вычисляется, то, раскрыв в (5.14) параметр Z_ac в соответствии с (5.4), можем составить неравенство, сократив в правой части которого скорость света c и ускорение W'_ac , зафиксируем, что для разгоняющегося объекта длительность разгона по часам ИСО «K», из состояния покоя относительно которой объект начал разгон, всегда больше, чем по часам ССО «K'», связанной с объектом:

По завершении разгона объект движется инерционно (inertia) со скоростью V_ac , достигнутой на этапе разгона, относительно стартовой ИСО «K» в течение промежутка Δt'_in по времени ССО «K'», которая на данном этапе является инерциальной и которую обозначим ИСО «K'_in». Применив к параметрам движения (покоя) объекта в ИСО «K'_in» преобразования Лоренца (3.1) и учитывая, что относительно ИСО «K'_in» объект не перемещается, т. е. Δx'_in = 0, запишем соотношения для смещения объекта Δx_in за этап инерционного движения относительно ИСО «K» и для длительности Δt_in этого этапа по часам ИСО «K»:

Заменив в результирующей части этих соотношений скорость V_ac её выражением из (5.12), а знаменатели правых частей преобразований Лоренца в соответствии с (5.11) представив и заменив выражением через единственный параметр ускорения Z_ac

после преобразований найдём смещение Δx_in объекта относительно ИСО «K» за этап инерционного движения и длительность Δt_in этапа инерционного движения объекта по часам ИСО «K» через длительность Δt'_in этапа инерционного движения объекта по времени ИСО «K'_in» и через параметр его ускорения Z_ac на этапе разгона:

 Поскольку значение гиперболического косинуса всегда больше единицы то из (5.18) следует, что длительность этапа инерционного движения объекта по часам условно покоящейся ИСО «K» всегда больше длительности этого же этапа по часам условно движущейся ИСО «K'_in»:

Перейдём к этапу торможения объекта. Торможение объекта – это его ускорение W'_br , направленное противоположно ускорению разгона, длительностью Δt'_br по собственному времени ССО «K'_br», которая тормозится вместе с объектом. Торможение начинается из состояния покоя относительно ИСО «K'_in» , с которой объект был связан на этапе инерционного движения и которая продолжает такое движение со скоростью V_ac относительно стартовой ИСО «K». Определив в соответствии с (5.4) параметр ускорения для этапа торможения Z_br = W'_br ∙ Δt'_br /c и подставив его и ускорение W'_br на этапе торможения в (5.6) и (5.7), найдём смещение объекта Δx'_br за этап торможения относительно ИСО «K'_in» и длительность Δt'_br этапа торможения по её часам:

Считая условно покоящейся стартовую ИСО «K», относительно которой с постоянной скоростью V_ac движется ИСО «K'_in» , подставив в преобразования Лоренца (3.1) скорость V = V_ac , смещение объекта Δx' = Δx'_br относительно ИСО «K'_in» за этап торможения и длительность Δt' = Δt'_br этапа торможения по часам ИСО «K'_in» , запишем соотношения для смещения Δx_br = Δx объекта за этап торможения относительно ИСО «K» и для длительности Δt_br = Δt этапа торможения по её часам:

Заменив в результирующей части этих соотношений смещение объекта Δx'_br относительно ИСО «K'_in» и длительность Δt'_br торможения объекта по её часам выражениями (5.20) и (5.21), скорость V_ac движения ИСО «K'_in» относительно ИСО «K» – её выражением из (5.12), а знаменатели правых частей преобразований Лоренца – выражением из (5.16), после преобразований найдём смещение Δx_br объекта за этап торможения относительно ИСО «K», из состояния покоя относительно которой объект начал разгон, и длительность Δt_br этапа его торможения по часам ИСО «K» через ускорение W'_br на этапе торможения и через значения параметров его ускорений Z_ac и Z_br , действующих на этапах разгона и торможения:

Поскольку этапов, связанных с ускорением, всего два – этапы разгона и торможения, то для нахождения скорости V_br объекта относительно стартовой ИСО «K» по завершении этапа торможения воспользуемся соотношением (5.8) при N = 2, произведя замену Z₁ = Z_ac и Z₂ = Z_br :

Для того, чтобы по завершении торможения объект остановился относительно стартовой ИСО «K», обратимся к условию (5.10), раскрыв в котором параметр Z_{br_stop} , после преобразований найдём длительность Δt'_{br_stop} торможения объекта по часам связанной с ним ССО «K'_br» , при которой скорость объекта относительно стартовой условно покоящейся ИСО «K» упадёт до нуля:

Если длительность этапа торможения будет меньше Δt'_{br_stop} , то объект продолжит движение относительно ИСО «K» в направлении, заданном на этапе разгона с меньшей скоростью. Если – больше, то объект, пройдя точку остановки относительно ИСО «K», начнёт разгон в обратном направлении в сторону начала её координат. Скорость объекта относительно ИСО «K» по завершении этапа торможения с учётом знака в любом случае определится соотношением (5.24).

Заменив в (5.22) и (5.23) параметр Z_br на Z_{br_stop} и учитывая, что исходя из условия остановки (5.10) Z_{br_stop} = –Z_ac , найдём смещение Δx_{br_stop} объекта за период его торможения до остановки относительно ИСО «K» и длительность Δt_{br_stop} периода торможения по её часам:

Произведя в (5.27) обратную замену Z_ac = –Z_{br_stop} , длительность Δt_{br_stop} торможения объекта до остановки относительно ИСО «K» по её часам можем записать и таким образом:

Поскольку абсолютная величина значения гиперболического синуса всегда больше абсолютной величины значения аргумента, от которого он вычисляется, то раскрыв параметр Z_{br_stop} можем составить неравенство, сократив в правой части которого скорость света c и ускорение W'_br , зафиксируем, что для тормозящегося объекта длительность торможения по часам ИСО «K», относительно которой объект останавливается, всегда больше, чем по часам ССО «K'», связанной с объектом:

Сложив неравенства (5.15), (5.19), (5.28), зафиксируем, что суммарная длительность Δt_Σ смещения объекта от момента начала ускоренного движения из состояния покоя относительно ИСО «K» и до момента его остановки до состояния покоя после торможения относительно этой же ИСО «K» по её часам всегда больше, чем суммарная длительность Δt'_Σ между этими же моментами по часам ССО «K'», связанной с объектом:

6. Миф второй.    
«Для анализа ускоренного движения Астронавта 
требуется использовать ОТО» ↑

Исходные положения ↑

Суть эксперимента. При старте от Земли Астронавт включает двигатели и начинает движение в сторону цели с постоянным ускорением; через некоторое время выключает двигатели и движется инерционно; затем включает двигатели на торможение и на разгон в обратном направлении (для краткости без остановки) – тормозится и разгоняется в сторону Земли; опять выключает двигатели и движется инерционно; последний раз включает двигатели на торможение и тормозится до остановки у Земли. Во всех режимах ускоренного движения Астронавт поддерживает ускорение постоянным в своей ССО. Рис. 5.

На протяжении всего эксперимента к Домоседу (homebody), остающемуся на Земле, жёстко привязано начало координат ИСО_home , которая на протяжении всего эксперимента является для него ССО. К Астронавту (astronaut) на протяжении всего эксперимента жёстко привязано начало координат сопутствующей ему ССО_astr , которая, в отличие от ИСО_home , меняет характер своего движения в зависимости от этапа. Координатные оси x всех ССО всегда направлены от Земли в сторону цели. Оба участника снабжены однотипными часами, с помощью которых каждый из них в своей ССО фиксирует промежутки времени между моментами начала и завершения каждого из этапов.

Эксперимент делим на пять этапов: 1 – разгон в сторону цели, 2 – инерционное движение в сторону цели, 3 – торможение до цели и разгон в сторону Земли (без остановки), 4 – инерционное движение в сторону Земли, 5 – торможение до Земли. План изменения режимов движения Астронавта, значения ускорений на этапах ускорений-торможений и длительностей этапов как ускорений-торможений, так и инерционного движения разработан и утверждён заранее до старта. В соответствии с этим планом Домосед рассчитывает смещения Астронавта на каждом этапе его движения относительно своей ИСО_home и длительности этапов по её часам, опираясь на запланированные моменты времени по часам ССО_astr , в которые Астронавт изменяет режимы своего движения.

Целью считаем точку, которой Астронавт достигает при наибольшем удалении S от Земли, в которой его скорость относительно ИСО_home падает до нуля и из которой в этот же момент без задержки он начинает обратный разгон в сторону Земли. Расстояние до цели S > 0 задаётся произвольно и является одним из аргументов для расчёта смещений Астронавта относительно ИСО_home на инерционных этапах его движения.

Смещения Астронавта относительно ИСО_home Домоседа на каждом из этапов обозначим Δx_{1_home} , Δx_{2_home} , Δx_{3_home} , Δx_{4_home} , Δx_{5_home} , а длительности этапов по часам ИСО_home – Δt_{1_home} , Δt_{2_home} , Δt_{3_home} , Δt_{4_home} , Δt_{5_home} .

На этапах 1, 3, 5 Астронавт движется ускоренно. На этих этапах связанную с ним ССО_astr интерпретируем тремя ускоряющимися ССО – ССО_{1_astr} , ССО_{3_astr} , ССО_{5_astr} в соответствии с номерами этапов. Начала координат этих ССО на каждом из этапов жёстко привязаны к Астронавту. Постоянные ускорения Астронавта, действующие на него в каждой из этих ССО, обозначим как W_{1_astr} > 0, W_{3_astr} < 0, W_{5_astr} > 0, а длительности этапов по часам каждой из них – Δt_{1_astr} , Δt_{3_astr} , Δt_{5_astr} . Ускорения, действующие на всех этапах, и длительности этапов 1 и 3 по часам ССО_{1_astr} и ССО_{3_astr} наряду с расстоянием S являются изначальными аргументами, которые задаются достаточно произвольно в пределах значений, допустимых условиями (6.9), (6.14), (6.20), (6.30). Остальные параметры движения Астронавта – его смещения относительно ИСО_home Домоседа, длительности всех этапов по её часам и длительность этапа 5 по часам ССО_{5_astr} Астронавта – являются функциями этих аргументов.

На этапах 2 и 4 Астронавт движется инерционно без ускорений, поэтому на этих этапах связанную с ним ССО_astr будем интерпретировать двумя ИСО – ИСО_{2_astr} и ИСО_{4_astr} тоже в соответствии с номерами этапов. Начала координат этих ИСО на каждом из этапов жёстко привязаны к Астронавту. Длительности этапов по часам каждой из этих ИСО обозначим как Δt_{2_astr} и Δt_{4_astr} . На этих этапах смещения Астронавта относительно ИСО_home и длительности этих этапов как по часам ИСО_home , так и по часам ИСО_{2_astr} и ИСО_{4_astr} Астронавта тоже являются функциями расстояния S и аргументов, заданных на этапах ускорений.

Суммарная длительность Δt_{Σ_astr} всего эксперимента по часам ССО_astr Астронавта складывается из суммы длительностей всех этапов по часам всех ССО, с которыми Астронавт был последовательно связан на всех этапах своего движения:

Суммарное смещение Δx_{Σ_home} Астронавта за весь эксперимент относительно ИСО_home Домоседа складывается из алгебраической суммы (с учётом знаков) смещений Астронавта на всех этапах относительно ИСО_home :

Суммарная длительность Δt_{Σ_home} всего эксперимента по часам ИСО_home Домоседа складывается из суммы длительностей всех этапов по её часам:

В соответствии с (5.4) обозначим и зафиксируем параметры ускорений Астронавта на всех этапах ускоренных движений:

Этап 1 – разгон в сторону цели ↑

Из состояния покоя относительно ИСО_home Астронавт начинает разгон в сторону цели. На протяжении Δt_{1_astr} по часам ССО_{1_astr} , связанной с Астронавтом на этапе 1, на него действует постоянное ускорение W_{1_astr} > 0, которое может быть задано произвольным положительным значением без ограничений. Длительность Δt_{1_astr} этапа 1 может быть задана произвольно с учётом ограничения (6.9).

Заменив в (5.6) и (5.7) значения W' и Z значениями W_{1_astr} и Z₁ , найдём смещение Δx_{1_home} Астронавта относительно ИСО_home за этап 1 и длительность Δt_{1_home} этапа 1 по её часам:

Для того, чтобы Астронавт имел возможность остановиться непосредственно у цели, не переместившись за неё, необходимо, чтобы его смещение Δx_{1_home} за этап 1 не превысило расстояние S между Землёй и целью. Неравенство должно быть строгим, поскольку необходимо оставить запас расстояния для торможения Астронавта до цели:

Заменив Δx_{1_home} его выражением из (6.7), раскрыв Z₁ в соответствии с (6.4) и проведя преобразования, при заданных значениях расстояния S и ускорения W_{1_astr} найдём область значений Δt_{1_astr} , для которых это условие будет выполнено:

По завершении разгона Астронавт переходит в режим инерционного движения в сторону цели на этапе 2 в сопутствующей ему ИСО_{2_astr} , которая движется с постоянной скоростью V_{2_home} относительно ИСО_home , набранной Астронавтом по завершении этапа 1. Эту скорость найдём используя (5.8) по единственному параметру ускорения Z₁ :

Этап 3 – торможение до цели и разгон в сторону Земли ↑

Из состояния покоя относительно ИСО_{2_astr} , с которой Астронавт был связан на этапе 2 инерционного движения, он начинает торможение к цели с плавным переходом к разгону в сторону Земли с ускорением W_{3_astr} < 0, которое может быть задано произвольным отрицательным значением с учётом ограничения (6.14).

Рассмотрим первую часть этапа – период торможения Астронавта до остановки у цели.

Поскольку цель покоится относительно ИСО_home , то, заменив в (5.25), (5.26), (5.27) значения W'_br = W_{3_astr} и Z_ac = Z₁ , найдём из (5.25) длительность Δt_{3br_astr} = Δt'_{br_stop} периода торможения Астронавта по часам связанной с ним ССО_{3_astr} до остановки относительно ИСО_home , а из (5.26) и (5.27) – его смещение Δx_{3br_home} = Δx_{br_stop} за этот период относительно ИСО_home и длительность Δt_{3br_home} = Δt_{br_stop} периода до остановки по часам ИСО_home :

Для того, чтобы Астронавт имел возможность остановиться непосредственно у цели, не переместившись за неё, необходимо, чтобы сумма его смещений Δx_{1_home} за этап 1 разгона в сторону цели и Δx_{3br_home} за период торможения до остановки у цели не превысила расстояние S от Земли до цели:

Заменив Δx_{1_home} и Δx_{3br_home} их выражениями из (6.7) и (6.12) и проведя преобразования, при заданных значениях расстояния S, ускорения W_{1_astr} и параметра Z₁ найдём область значений абсолютной величины ускорения |W_{3_astr}|, для которых это условие будет выполнено:

Если значение ускорения W_{3_astr} задано таким образом, что в (6.14) выполняется равенство, то это значит, что для того, чтобы Астронавт остановился у цели, его торможение должно начаться непосредственно в момент завершения разгона в сторону цели, а этап 2 инерционного движения будет иметь нулевую длительность.

Если в (6.14) реализуется неравенство, то это значит, что суммарного смещения Астронавта при разгоне на этапе 1 в сторону цели и торможении на этапе 3 до останоки относительно ИСО_home недостаточно для достижения цели и он остановится её не достигнув. Этот недостаток суммарного смещения Астронавта следует дополнить его смещением относительно ИСО_home на этапе 2 инерционного движения, значение Δx_{2_home} которого найдём вычитанием суммы его смещений Δx_{1_home} за время разгона в сторону цели на этапе 1 и Δx_{3br_home} за период торможения до остановки относительно ИСО_home на этапе 3. С учётом (6.7) и (6.12) после преобразований получим:

Длительность Δt_{2_home} этапа 2 по часам ИСО_home найдём поделив смещение Δx_{2_home} Астронавта на этапе 2 на скорость V_{2_home} (см. (6.10)) его движения на этом этапе относительно ИСО_home :

Длительность Δt_{2_astr} этапа 2 по часам ИСО_{2_astr} , сопутствующей Астронавту на этапе 2, найдём как Δt_{2_astr} = Δt'_in из (5.18), обернув это соотношение и заменив его компоненты Δt_in = Δt_{2_home} (см. (6.16)) и Z_ac = Z₁ :

Рассмотрим этап 3 полностью от момента начала торможения Астронавта к цели и до завершения его разгона в сторону Земли.

Полная длительность Δt_{3_astr} этапа по часам ССО_{3_astr} , связанной с Астронавтом, может быть задана произвольно между двумя значениями: первое – для того, чтобы торможение Астронавта до цели перешло в разгон в сторону Земли, полная длительность этапа должна быть больше длительности периода торможения до остановки у цели: Δt_{3_astr} >Δt_{3br_astr} (см. (6.11)), и второе – значение Δt_{3_astr} сверху должно быть ограничено соотношением (6.20).

Заменив в (5.22) и (5.23) значения W'_br = W_{3_astr} , Z_ac = Z₁ , Z_br = Z₃ , найдём смещение Δx_{3_home} = Δx_br Астронавта относительно ИСО_home за полный этап 3 и длительность Δt_{3_home} = Δt_br полного этапа 3 по часам ИСО_home :

В зависимости от соотношения между параметрами Z₁ и Z₃ , полное смещение Δx_{3_home} может оказаться и положительным, и отрицательным. Если смещение отрицательно, то для того, чтобы Астронавт имел возможность остановиться непосредственно у Земли, не переместившись за неё, необходимо, чтобы абсолютная величина |Δx_{3_home}| этого смещения была меньше разности между расстоянием S > 0 от Земли до цели и смещением Δx_{3br_home} > 0 Астронавта за период его торможения до цели. Неравенство должно быть строгим, поскольку необходимо оставить запас расстояния для торможения Астронавта до Земли:

Заменив Δx_{3_home} и Δx_{3br_home} их выражениями из (6.18) и (6.12), раскрыв Z₃ в соответствии с (6.5) и проведя преобразования, при заданных значениях расстояния S, ускорения W_{3_astr} и параметра Z₁ найдём область значений Δt_{3_astr} , для которых это условие будет выполнено:

Вычитая длительность Δt_{3br_astr} (см. (6.11)) периода торможения Астронавта до цели из произвольно заданной полной длительности Δt_{3_astr} этапа 3 (с учётом оговорённых ограничений), найдём длительность Δt_{3_ac_astr} периода разгона на этапе 3 в сторону Земли по часам ССО_{3_astr} , связанной с Астронавтом:

Подставив в определяющее соотношение (5.4) ускорение Астронавта W_{3_astr} и длительность Δt_{3ac_astr} периода его разгона в сторону Земли на завершающей части этапа 3 из (6.21), с учётом (6.5) найдём параметр ускорения Z_3ac периода разгона в сторону Земли на этапе 3:

Вычитая смещение Δx_{3br_home} (см. (6.12)) Астронавта за период торможения до остановки у цели из его смещения Δx_{3_home} (см. (6.18)) за полный этап 3 относительно ИСО_home , а длительность Δt_{3br_home} (см. (6.13)) периода торможения до остановки у цели – из полной длительности Δt_{3_home} (см. (6.19)) этапа 3 по её часам и, проведя преобразования, найдём смещение Δx_{3_ac_home} Астронавта за период разгона в сторону Земли относительно ИСО_home и длительность Δt_{3_ac_home} периода разгона в сторону Земли по её часам:

По завершении разгона Астронавт переходит в режим инерционного движения в сторону Земли на этапе 4 в сопутствующей ему ИСО_{4_astr} , которая движется с постоянной скоростью V_{4_home} относительно ИСО_home , набранной Астронавтом по завершении этапа 3. Эту скорость найдём используя (5.8) по сумме двух параметров ускорения Z₁ и Z₃ :

Этап 5 – торможение до Земли ↑

Из состояния покоя относительно ИСО_{4_astr} , с которой Астронавт был связан на этапе 4 инерционного движения, он начинает торможение к Земле с ускорением W_{5_astr} > 0, которое может быть задано произвольным положительным значением с учётом ограничения (6.30).

Условие остановки Астронавта по завершении этапа 5 относительно ИСО_home , из состояния покоя относительно которой он стартовал с Земли в начале эксперимента, запишем исходя из соотношения (5.9) для суммы всех этапов 1, 3, 5 его ускоренного движения:

Заменив в (6.26) параметр Z₅ его выражением из (6.6) и проведя преобразования, найдём длительность Δt_{5_astr} этапа 5 торможения Астронавта до его остановки относительно ИСО_home по часам ССО_{5_astr} , связанной с ним на этапе 5 торможения до Земли:

Заменив в (5.26) и (5.27) значения W'_br = W_{5_astr} и Z_ac = Z_3ac = Z₁ + Z₃ (см. (6.22)), найдём смещение Δx_{5_home} = Δx_{br_stop} Астронавта относительно ИСО_home за этап 5 и длительность Δt_{5_home} = Δt_{br_stop} этапа 5 торможения до остановки у Земли по часам ИСО_home :

Для того, чтобы Астронавт имел возможность остановиться непосредственно у Земли, не переместившись за неё, необходимо, чтобы абсолютная величина суммы его смещений Δx_{3ac_home} < 0 за время разгона в сторону Земли на завершающей части этапа 3 и Δx_{5_home} < 0 за время торможения до остановки у Земли на этапе 5 не превысила расстояние S > 0 между Землёй и целью:

Заменив Δx_{3ac_home} и Δx_{5_home} их выражениями из (6.23) и (6.28) и проведя преобразования, при заданных значениях расстояния S, ускорения W_{3_astr} и параметров Z₁ и Z₃ найдём область значений ускорения W_{5_astr} , для которых это условие будет выполнено:

Если значение ускорения W_{5_astr} задано таким образом, что в (6.30) выполняется равенство, то это значит, что для того, чтобы Астронавт остановился у Земли, его торможение должно начаться непосредственно в момент завершения разгона в сторону Земли, а этап 4 инерционного движения будет иметь нулевую длительность.

Если в (6.30) реализуется неравенство, то это значит, что суммарного смещения Астронавта при разгоне на этапе 3 в сторону Земли и торможении на этапе 5 до останоки относительно ИСО_home недостаточно для достижения Земли и он остановится её не достигнув. Этот недостаток суммарного смещения Астронавта следует дополнить его смещением относительно ИСО_home на этапе 4 инерционного движения, значение Δx_{4_home} которого найдём как алгебраическую сумму с обратным знаком расстояния S > 0 между Землёй и целью с его смещениями Δx_{3ac_home} < 0 на завершающей части этапа 3 разгона в сторону Земли и Δx_{5_home} < 0 за время торможения до остановки относительно ИСО_home на этапе 5. С учётом (6.23) и (6.28) после преобразований получим:

Длительность Δt_{4_home} этапа 4 по часам ИСО_home найдём поделив смещение Δx_{4_home} Астронавта на этапе 4 на скорость V_{4_home} (см. (6.25)) его движения на этом этапе относительно ИСО_home :

Длительность Δt_{4_astr} этапа 4 по часам ИСО_{4_astr} , сопутствующей Астронавту на этапе 4, найдём как Δt_{4_astr} = Δt'_in из (5.18), обернув это соотношение и заменив его компоненты Δt_in = Δt_{4_home} (см. (6.32)) и Z_ac = Z_3ac = Z₁ + Z₃ (см. (6.22)):

Анализ результатов ↑

Подставив в (6.2) выражения (6.7), (6.15), (6.18), (6.31), (6.28) смещений Астронавта на каждом из этапов относительно ИСО_home , запишем соотношение, отображающее его суммарное смещение Δx_{Σ_home} относительно ИСО_home по завершении всего эксперимента:

Произведя в этом соотношении предписанные действия, можно убедиться, что результат суммирования тождественно нулевой. Это говорит о том, что при выполнении условия (5.9) в пунктах остановок относительно ИСО_home и условий (6.9), (6.14), (6.20), (6.30), ограничивающих перемещение Астронавта за точки этих остановок, по завершении эксперимента Астронавт с необходимостью вернётся в начало координат ИСО_home – в точку, из которой он начал первоначальный разгон в сторону цели. В силу громоздкости преобразований проводить их не будем. Желающие могут заняться этим самостоятельно или убедиться в корректности сделанного вывода на численных примерах, вычислив смещения Астронавта на всех этапах и просуммировав все результаты.

Для нахождения выражений полных длительностей Δt_{Σ_astr} эксперимента по часам ССО_astr Астронавта и Δt_{Σ_home} по часам ИСО_home Домоседа необходимо подставить в (6.1) и в (6.3) длительности всех этапов по часам каждой из них и просуммировать. Но результаты этих подстановок столь громоздки, что их трудно вписать в формат страницы. Поэтому анализ полных длительностей эксперимента проведём в упрощённом варианте, применив симметрию.

Значения ускорений в ССО_astr на всех этапах разгонов-торможений примем равными по абсолютной величине, которую обозначим символом W_sim , и все ускорения выразим через это значение:

Длительности этапов 1 и 5 разгона в сторону цели и торможения до Земли по часам ССО_astr тоже примем равными между собой и обозначим символом Δt_{ac_astr_sim} , а полную длительность этапа 3 торможения до цели и разгона в сторону Земли – равной их удвоенной длительности:

В режиме симметрии величины S, W_sim , Δt_{ac_astr_sim} задаются произвольными положительными значениями и являются исходными аргументами для вычисления всех остальных параметров движения Астронавта. Определим через эти аргументы симметричный параметр ускорения Z_sim и выразим через него параметры ускорений всех этапов ускорений-торможений:

Заменив в (6.17) и (6.33) все составляющие их симметричными значениями из (6.34) – (6.37), запишем выражения для длительностей Δt_{2_astr_sim} и Δt_{4_astr_sim} инерционных этапов 2 и 4 по часам ССО_astr Астронавта для варианта симметрии:

проведя преобразования которых найдём, что в варианте симметрии длительности обоих инерционных этапов выражаются одинаковыми соотношениями и следовательно равны между собой. Обозначив эти длительности символом Δt_{in_astr_sim} , запишем:

Подставив в (6.1) вместо длительностей Δt_{1_astr} , Δt_{3_astr} , Δt_{5_astr} этапов ускорений-торможений значения длительностей этих же этапов в режиме симметрии из (6.35), а вместо длительностей инерционных этапов Δt_{2_astr} и Δt_{4_astr} – значения длительностей этих же этапов в режиме симметрии из (6.38), запишем выражение для суммарной длительности Δt_{Σ_astr_sim} всего эксперимента в режиме симметрии по часам ССО_astr Астронавта:

Заменив в (6.8), (6.19), (6.29) все составляющие их симметричными значениями из (6.34) – (6.37), найдём длительности Δt_{1_home_sim} , Δt_{3_home_sim} , Δt_{5_home_sim} этапов 1, 3, 5 ускорений-торможений по часам ИСО_home Домоседа в режиме симметрии:

Заменив в (6.16) и (6.32) все составляющие их симметричными значениями из (6.34) – (6.37), запишем выражения для длительностей Δt_{2_home_sim} и Δt_{4_home_sim} инерционных этапов 2 и 4 по часам ИСО_home Домоседа в режиме симметрии:

проведя преобразования которых найдём, что в режиме симметрии длительности обоих инерционных этапов тоже выражаются одинаковыми соотношениями и, следовательно, тоже равны между собой. Обозначив эти длительности символом Δt_{in_home_sim} , запишем:

Подставив в (6.3) вместо длительностей Δt_{1_home} , Δt_{3_home} , Δt_{5_home} этапов ускорений-торможений значения длительностей этих же этапов в режиме симметрии из (6.40) – (6.42), а вместо длительностей инерционных этапов Δt_{2_home} и Δt_{4_home} – значения этих же этапов в режиме симметрии из (6.43), запишем выражение для суммарной длительности Δt_{Σ_home_sim} всего эксперимента в режиме симметрии по часам ИСО_home Домоседа:

Поскольку значения гиперболического синуса всегда больше значений его аргумента, от которого он вычисляется, то, раскрыв параметр Z_sim в первом слагаемом (6.44), можем составить неравенство, сократив в правой части которого скорость света c и ускорение W_sim , зафиксируем, что значение первого слагаемого соотношения (6.44) больше, чем оставшаяся справа величина равная первому слагаемому соотношения (6.39):

Поскольку второе слагаемое (6.44) отличается от второго слагаемого (6.39) только наличием дополнительного сомножителя ch Z_sim , который заведомо больше единицы, то второе слагаемое (6.44) заведомо больше второго слагаемого (6.39), откуда следует очевидный вывод, что в режиме симметрии суммарная длительность всего эксперимента по часам ИСО_home Домоседа всегда больше суммарной длительности по часам ССО_astr Астронавта:

Этот вывод справедлив не только для режима симметрии, но и для любых других режимов движения Астронавта что и без последних рассуждений было ясно из соображений, рассмотренных в разделе 5, см. (5.29).

Выводы ↑

Тождественность физических явлений ускорения и гравитации установлена принципом эквивалентности, суть которого состоит в том, что на объект, находящийся в ньютоновском гравитационном поле, действует сила, сообщающая ему ускорение, величина которого не зависит от массы объекта. Этот принцип фундаментален, он не следует из каких-либо теоретических предпосылок, а установлен исключительно наблюдениями, точность которых на сегодняшний день составляет порядка ~10^–13. Принцип эквивалентности говорит о том, что в ИСО, в которой действует однородное гравитационное поле, описание кинематики произвольного объекта, который под действием этого поля испытывает ускорение W, идентично описанию кинематики этого же объекта относительно неинерциальной системы отсчёта, в которой такое поле отсутствует, но которая сама испытывает ускорение –W обратного знака. Опираясь на этот принцип, Эйнштейн заменил описание кинематики движения объектов под действием ньютоновского гравитационного поля описанием их кинематики как бы движением неинерциальной ускоряющейся системы отсчёта. Это позволило описать гравитацию, отказавшись от её интерпретации как силового поля, и перейти к интерпретации как явления искривления пространства-времени и движения объектов по геодезическим. Однако, это описание не может быть создано простым переносом соотношений, описывающих движение объектов в неинерциальной ускоряющейся системе отсчёта без гравитации, на ИСО, в которых действует реальная гравитация, поскольку реальная гравитация создаётся компактными массивными объектами и в силу этого не бывает однородной. При этом не только динамика движения вещества определяется метрикой пространства-времени, но имеется и обратная зависимость – зависимость метрики пространства-времени от конфигурации масс вещества. Поэтому перенести описание кинематики объектов, применимое в ускоряющейся системе отсчёта, на ИСО, в которой действует реальная гравитация, возможно только на бесконечно малую область пространства, поскольку пространственные неоднородности реальной гравитации могут быть сведены к нулю только дифференциально. В макроскопическом масштабе такой перенос может быть осуществлён с помощью достаточно сложного математического аппарата, включающего в себя тензорный анализ и дифференциальную геометрию, что и называется ОТО.

В отличие от гравитации, ускорение однородно по всему пространству и не влияет на его метрические характеристики. Пространство как при наличии ускоряющихся объектов, так при наличии ускоряющихся систем отсчёта остаётся плоским псевдоевклидовым. Поэтому, как и показано в [2], для создания и использования соотношений, описывающих кинематику ускоряющихся объектов в СТО, достаточно элементарной математики почти школьного уровня. Однако, в среде «ниспровергателей» поддерживается миф, что при скоростях, соизмеримых со скоростью света, анализ ускоренного движения возможен только в рамках ОТО со всей сложностью её математического аппарата. Возможно, что этот миф сложился в силу невежества и таким подходом «ниспровергатели» ищут предлог, чтобы сославшись на эту сложность и ограничившись лишь словесными рассуждениями, «авторитетно» объявить СТО, а заодно и ОТО, несостоятельными.

К сожалению, даже профессиональные физики-теоретики в популярных лекциях и в публикациях об СТО, разбирая в частности и парадокс близнецов, как правило ограничиваются разбором лишь его упрощённого варианта, предполагая этапы ускоренного движения Астронавта пренебрежимо короткими, даже не пытаясь описывать эти этапы на элементарном уровне. Таким отношением они как бы соглашаются с «ниспровергателями» в том, что анализ ускоренного движения Астронавта слишком сложен для популярного изложения. Во всяком случае, автору этих строк не приходилось встречать анализ ускоренного движения Астронавта в рамках парадокса близнецов методами элементарной математики. Попытки такого анализа порой проскакивают в интернете, но они базируются на соотношениях, взятых из ОТО с использованием метрики, лишь приведённой к псевдоевклидовой, что вполне корректно, но для восприятия человеком не знакомым с тензорным анализом и с дифференциальной геометрией недоступно.

7. Заключительное замечание ↑

Поскольку парадокс близнецов для широкой общественности является наиболее известным и наиболее одиозным следствием СТО, для снижения количества спекуляций вокруг СТО и ОТО этому «парадоксу» следовало бы уделить наибольшее внимание и рассмотреть все его нюансы самым тщательным образом в научно-популярной литературе, предназначенной в первую очередь для научно-образованных слоёв общества. Однако профессиональными физиками-теоретиками этого не сделано. Сколь полезной окажется попытка автора этой статьи, не являющегося теоретиком, подробно разобрать два наиболее одиозных мифа, сложившихся около парадокса близнецов, сказать сложно.

Литература ↑

1. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, т. 2, гл. 16, § 2 // М., «Мир», 1967.
2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля, §7, Решение задачи // М.: Наука. 1967.